Πολλαπλασιαστές Fourier και Θεωρία Littlewood-Paley

Απόστολος Γιαννόπουλος, Καθηγητής, τμήμα Μαθηματικών, Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών

Πολλαπλασιαστές Fourier και Θεωρία Littlewood-Paley

Πολλαπλασιαστές Fourier και Θεωρία Littlewood-Paley

Η εργασία αυτή μελετάει τις ιδιότητες ορθογωνιότητας του μετασχηματισμού Fourier στους χώρους Lp, γενικεύοντας έτσι την ορθογωνιότητα στον χώρο L2 η οποία δίνεται από το πυθαγόρειο θεώρημα. Για τη γενίκευση αυτή εισάγουμε την έννοια των τελεστών Littlewood-Paley και αποδεικνύουμε το θεώρημα Littlewood-Paley. Στη συνέχεια παρουσιάζουμε βασικά αποτελέσματα σχετικά με τους πολλαπλασιαστές Fourier που προκύπτουν ως εφαρμογές του θεωρήματος αυτού. Στο 2ο κεφάλαιο αναφέρονται βασικές έννοιες που χρειάζονται για την απόδειξη του θεωρήματος Littlewood-Paley, όπως οι συναρτήσεις Schwartz και οι tempered κατανομές . Στο 3ο κεφάλαιο εισάγεται η έννοια των πολλαπλασιαστών Fourier και παρουσιάζονται κάποια βασικά σχετικά αποτελέσματα. Το 4ο κεφάλαιο περιλαμβάνει τον μετασχηματισμό Hilbert και αποδεικνύεται ότι αυτός είναι φραγμένος γραμμικός τελεστής στους χώρους Lp. Το 5ο κεφάλαιο αποτελεί μια συλλογή ανισοτικών αποτελεσμάτων για γραμμικούς τελεστές που χρησιμοποιούνται στην απόδειξη των θεωρημάτων των επόμενων κεφαλαίων. Στο 6ο κεφάλαιο παρουσιάζονται 4 διαφορετικές μορφές του θεωρήματος Littlewood-Paley. Οι διαφορετικές εκδοχές αυτές προκύπτουν από την επιλογή μιας συνάρτησης Ψ από την οποία καθορίζεται ο τελεστής Littlewood-Paley καθώς επίσης και η επιλογή να οριστεί η συνάρτηση αυτή σε δυαδικά ορθογώνια ή σε δυαδικούς δακτύλιους. Το 7ο κεφάλαιο περιλαμβάνει τα θεωρήματα Marcinkiewicz και Hormander-Mikhlin: δύο θεωρήματα που δίνουν ικανές συνθήκες ώστε συναρτήσεις του L-άπειρο να είναι πολλαπλασιαστές Fourier για κάθε p. Το κεφάλαιο 8 περιέχει κάποιες επιπλέον εφαρμογές του θεωρήματος Littlewood-Paley.

93

0