Μερικές διαφορικές εξισώσεις και προβλήματα της επιστήμης των υλικών

Διδακτορική Διατριβή uoadl:1309150 602 Αναγνώσεις

Μονάδα:
Τομέας Μαθηματικής Ανάλυσης
Βιβλιοθήκη Σχολής Θετικών Επιστημών
Ημερομηνία κατάθεσης:
2014-09-03
Έτος εκπόνησης:
2014
Συγγραφέας:
Αργυροπούλου Ευτυχία
Στοιχεία επταμελούς επιτροπής:
Ι. Στρατής Καθηγητής (Επιβλέπων) , Α. Γιαννακόπουλος Καθηγητής, Γ. Μπαρμπάτης Αναπλ. Καθηγητής
Πρωτότυπος Τίτλος:
Μερικές διαφορικές εξισώσεις και προβλήματα της επιστήμης των υλικών
Γλώσσες διατριβής:
Ελληνικά
Μεταφρασμένος τίτλος:
Partial differential equations and problems of the science of materials
Περίληψη:
Τα σύνθετα υλικά περιέχουν άριστα αναμεμειγμένα συστατικά, τα οποία πιθανώς
παρουσιάζουν μια καλά ορισμένη δομή, συναντώνται σχεδόν παντού, είτε σε φυσικές
δομές είτε σε κατασκευασμένα υλικά (π.χ ξύλα, μέταλλα, κόκκαλα, πέτρες ή
τσιμέντο, κεραμικά, αφρούς κ.τ.λ). Κατασκευάζονται έτσι ώστε να έχουν
συγκεκριμένες επιθυμητές ιδιότητες που δεν παρουσιάζουν κάποια ομοιογενή μέσα.
Τα μέσα που χρησιμοποιούνται στον ηλκετρομαγνητισμό είναι συχνά σύνθετα υλικά.Η
εξέλιξη των φυσικών φαινομένων σε σύνθετα υλικά μπορεί να μοντελοποιηθεί από
Προβλήματα Συνοριακών Τιμών (ΠΣΤ) με περιοδική δομή. Αυτή η περιοδική δομή
οδηγεί σε πολύπλοκες καταστάσεις τόσο στην αναλυτική όσο και στην υπολογιστική
αντιμετώπιση αυτών των προβλημάτων, ειδικά αν η περίοδος αυτής της δομής είναι
μικρή συγκρινόμενη με το μέγεθος του πεδίου στο οποίο μελετάμε το σύστημα. Σε
τέτοιες περιπτώσεις, χρησιμοποιούμε ασυμπτωτική ανάλυση προκειμένου να πάρουμε
μια απλούστερη περιγραφή του φαινομένου, η οποία μοντελοποιεί το σύνολο των
ιδιοτήτων του υλικού.

Εάν ορίσουμε την παράμετρο δηλαδή το πηλίκο των χαρακτηριστικών μεγεθών και
των μικροδομών, τότε η ασυμπτωτική περιγραφή είναι έγκυρη καθώς το όριο . Αυτή
η ασυμπτωτική θεωρία, η οποία βασίστηκε σε τυπικά ασυμπτωτικά αναπτύγματα
σταδιακά εξελίχθηκε σε ισχυρή μαθηματική θεωρία, η οποία ονομάζεται
ομοιογενοποίηση και στοχεύει στην εύρεση της μακροσκοπικής συμπεριφοράς τέτοιων
συστημάτων. Αυτό επιτυγχάνεται αποδεικνύοντας ότι στο όριο καθώς το το φαινόμενο μπορεί να περιγραφεί από ένα ΠΣΤ παρόμοιο με εκείνο του αρχικού
προβλήματος αλλά με σταθερούς συντελεστές αντί για περιοδικούς. Αυτό σημαίνει
ότι το μη-ομοιογενές υλικό αντικαθίσταται από ένα ομοιογενές κατασκεύασμα του
οποίου οι συνολικές ιδιότητες είναι μια καλή προσέγγιση των αρχικών
χαρακτηριστικών.
Άρα, η μέθοδος της ομοιογενοποίησης επιτρέπει τη μελέτη σύνθετων υλικών που
συνδέεται άμεσα με τη μελέτη προβλημάτων συνοριακών τιμών σε μέσα με περιοδική
δομή. Αν η περίοδος της δομής είναι μικρή συγκρινόμενη με το μέγεθος του πεδίου
στο οποίο λαμβάνει χώρα το φαινόμενο που μελετάμε, χρησιμοποιούμε ασυμπτωτική
ανάλυση προκειμένου να βρούμε ένα ασυμπτωτικό ανάπτυγμα της λύσης που εξαρτάται
από μια μικρή παράμετρο.
Στόχος λοιπόν της ομοιογενοποίησης είναι η μελέτη της μακροσκοπικής
συμπεριφοράς ενός συστήματος. %Αυτό σημαίνει ότι ένα μη-ομοιογενές υλικό
αντικαθίσταται από ένα ομοιογενές, του οποίου τα χαρακτηριστικά συνιστούν μια
καλή προσέγγιση των αρχικών ιδιοτήτων του σύνθετου υλικού.
Από μαθηματικής απόψεως, οι λύσεις ενός προβλήματος συνοριακών τιμών με μη
σταθερούς συντελεστές που εξαρτώνται από μια μικρή παράμετρο συγκλίνουν (με
κατάλληλη έννοια) στη λύση ενός οριακού προβλήματος συνοριακών τιμών με
σταθερούς συντελεστές, που μπορεί πλήρως να μελετηθεί.
Στη συνέχεια, θεωρούμε τις (τοπικές ως προς το χρόνο) καταστατικές σχέσεις για
ανομοιογενή χειρόμορφα υλικά με σταθερό μέτρο χειρομορφίας. Τέτοια υλικά έχουν
σημαντικό φυσικό ενδιαφέρον (πολυμερή, μεταϋλικά). Ένα τυπικό τέτοιο μοντέλο
περιγράφει μια πολυστρωματική δόμηση από οπτικά ενεργά υλικά με αρκετά
διαφορετικό δείκτη διάθλασης, αλλά λίγο διαφορετική παράμετρο χειρομορφίας ώστε
να μπορεί θεωρηθεί σταθερή. Αν η εναλλαγή των υλικών γίνεται σε διαστάσεις πολύ
μικρότερες του μήκους κύματος, τα $\epsilon$ και $\mu$ είναι συναρτήσεις της
χωρικής (συνεχούς) μεταβλητής $x$ και είναι σημαντικό να βρεθεί το αντίστοιχο
effective (δηλ. ομοιογενές) υλικό. Η μελέτη αυτού του προβλήματος έγινε με την
μέθοδο της «περιοδικής εκδίπλωσης».
Τέλος, ασχολούμαστε με το πρόβλημα διάδοσης χρονικώς αρμονικών
ηλεκτρομαγνητικών πεδίων χωρίς πηγές, σε μια πλήρως αγώγιμη κάθετο διάνυσμα στο
σύνορο κοιλότητα Ω με σύνορο, που περιέχει διανισοτροπικό υλικό. Στο πρόβλημα
αυτό έκανα μια πλήρη φασματική μελέτη.
Λέξεις-κλειδιά:
Ηλεκτομαγνητισμός, Ομοιογενοποίηση, Σύνθετα υλικά, Χειρόμορφα υλικά, Περιοδική εκδίπλωση
Ευρετήριο:
Όχι
Αρ. σελίδων ευρετηρίου:
0
Εικονογραφημένη:
Ναι
Αρ. βιβλιογραφικών αναφορών:
52
Αριθμός σελίδων:
112