Αλγεβρική επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων (Αυτόματες - Αγλοριθμικές Αποδείξεις , το τρίτο πρόβλημα Hilbert)

Διπλωματική Εργασία uoadl:1315630 281 Αναγνώσεις

Μονάδα:
Τομέας Διδακτικής των Μαθηματικών
Βιβλιοθήκη Σχολής Θετικών Επιστημών
Ημερομηνία κατάθεσης:
2011-06-24
Έτος εκπόνησης:
2011
Συγγραφέας:
Αντωνόπουλος Νίκος
Στοιχεία επιβλεπόντων καθηγητών:
Ράπτης Ε. , Λάππας Διον., Βάρσος Δημ.
Πρωτότυπος Τίτλος:
Αλγεβρική επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων (Αυτόματες - Αγλοριθμικές Αποδείξεις , το τρίτο πρόβλημα Hilbert)
Γλώσσες εργασίας:
Ελληνικά
Περίληψη:
Περίληψη

Η παρούσα διπλωματική εργασία αναφέρεται κυρίως σε δυο θέματα τα οποία
σχετίζονται με την αλγεβρική επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων.
Στο πρώτο, που σχετίζεται με την αλγοριθμική απόδειξη θεωρημάτων της
ευκλείδειας γεωμετρίας, παρουσιάζουμε ένα από τα σημαντικότερα εργαλεία της
υπολογιστικής αλγεβρικής γεωμετρίας, τον αλγόριθμο Buchberger. Στον αλγόριθμο
αυτό η είσοδος είναι ένα σύστημα πολυωνυμικών εξισώσεων πολλών μεταβλητών και
η έξοδος ένα ισοδύναμο σύστημα εξισώσεων το οποίο ονομάζεται βάση Groebner. Ο
αλγόριθμος Buchberger είναι μια ωραία γενίκευση των αλγορίθμων εύρεσης του
μέγιστου κοινού διαιρέτη στην περίπτωση των πολυωνύμων μιας μεταβλητής και της
απαλοιφής Gauss για την επίλυση συστημάτων γραμμικών πολυωνυμικών εξισώσεων με
πολλούς αγνώστους.
Στο δεύτερο εκθέτουμε μια απλή εκδοχή του τρίτου προβλήματος Hilbert και
συγκεκριμένα εξετάζουμε κατά πόσο είναι δυνατό, εφαρμόζοντας στοιχειώδεις
μεθόδους, να βρούμε τύπο που να υπολογίζει τον όγκο οποιουδήποτε πολυέδρου
χωρίς να καταφύγουμε σε άπειρες διαδικασίες. Παραθέτοντας μια απόδειξη που
οφείλεται στον Dehn Max, αποδεικνύουμε ότι κάτι τέτοιο είναι αδύνατο αφού, με
αυτές τις μεθόδους, δεν μπορούμε να «μετασχηματίσουμε» ένα κανονικό τετράεδρο
σε κύβο που να έχει τον ίδιο όγκο.
Λέξεις-κλειδιά:
3ο πρόβλημα Hilbert, αλγόριθμος Buchberger , βάση Groebner, φορμαλισμος, πλατωνισμός
Ευρετήριο:
Όχι
Αρ. σελίδων ευρετηρίου:
0
Εικονογραφημένη:
Όχι
Αρ. βιβλιογραφικών αναφορών:
46
Αριθμός σελίδων:
110