Μονάδα:
Τομέας Στατιστικής και Επιχειρησιακής ΈρευναςΒιβλιοθήκη Σχολής Θετικών Επιστημών
Ημερομηνία κατάθεσης:
2012-04-04
Συγγραφέας:
Δικαιοσυνόπουλος Νικόλαος
Στοιχεία επιβλεπόντων καθηγητών:
Δημήτρης Χελιώτης(επιβλέπων-Επίκουρος καθηγητής),Λεώνη Ευαγγελάτου-Δάλλα(Αναπληρώτρια καθηγήτρια),Νικόλαος Παπαδάτος (Αναπληρωτής καθηγητής)
Πρωτότυπος Τίτλος:
Γεωμετρικές ιδιότητες της κίνησης brown
Γλώσσες εργασίας:
Ελληνικά
Περίληψη:
Η κίνηση Brown είναι μια από τις πλέον διάσημες και θεμελιώδεις στοχαστικές
διαδικασίες. Η διατύπωση της οφείλεται στο φυσικό φαινόμενο της κίνησης Brown,
δηλαδή στην ακανόνιστη κίνηση που επιδεικνύει ένα σωματίδιο εκτεθειμένο σε υγρό
και πήρε το όνομά της από το Σκοτσέζο βοτανολόγο Robert Brown που την
παρατήρησε και τη μελέτησε το 1827. Η φυσική εξήγηση που δόθηκε από τον
Einstein, απέδιδε τις τροχιές (μονοπάτια) του σωματιδίου στις αναρίθμητες
συγκρούσεις του με τα μόρια του υγρού στο οποίο είναι εκτεθειμένο. Η
μαθηματική διατύπωση της κίνησης Brown δόθηκε από το Norbert Wiener. Ο στόχος
μας είναι να συζητήσουμε τις ιδιότητές της δίνοντας ιδιαίτερη έμφαση στα
μονοπάτια.
Στο Κεφάλαιο 1 εξετάζουμε τη μονοδιάστατη και τη διδιάστατη κίνηση Brown ως
προς τη συνέχεια και τη διαφορισιμότητα. Η απάντηση στο δεύτερο ερώτημα είναι
εντυπωσιακή και δόθηκε από τους Paley, Zygmund και Wiener το 1933.
Στο Κεφάλαιο 2 εισάγουμε ένα από τα σημαντικότερα εργαλεία για τη μελέτη της
κίνησης Brown, την ιδέα της διάστασης Hausdorff. Μέσω αυτής της ιδέας είμαστε
σε θέση να απαντήσουμε σε ερωτήματα σχετικά με το μέγεθος των συνόλων που
παράγονται από την κίνηση Brown όπως για παράδειγμα το Zeros = {t 0 : B(t) =
0}, το σύνολο των μηδενικών της. Το σύνολο αυτό είναι μεγάλο υπό την έννοια ότι
είναι υπεραριθμήσιμο χωρίς μεμονωμένα σημεία. Το Lebesgue μέτρο αυτού του
συνόλου όμως είναι μηδέν και υπό αυτή την έννοια θεωρείται μικρό. Το σύνολο των
μηδενικών είναι ένα τυχαίο fractal του οποίου η διάσταση Hausdorff είναι 1/2.
Λέξεις-κλειδιά:
Κίνηση μπράουν, Κανονική κατανομή, Διάσταση Hausdorff, Iσχυρή ιδιότητα Markov, Μέτρο Hausdorff
Αρ. σελίδων ευρετηρίου:
0
Αρ. βιβλιογραφικών αναφορών:
5
