Κατεύθυνση Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών
Βιβλιοθήκη Σχολής Θετικών Επιστημών

2018-06-05

2018

Λωρίδα Πηνελόπη

Διονύσιος Λάππας, Αναπληρωτής Καθηγητής, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ
Ευάγγελος Ράπτης, Καθηγητής, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ
Παναγιώτης Σπύρου, τ. Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ

Από τις αρμονικές τετράδες στην υπερβολική μετρική: μία ιστορική διαδρομή με διδακτικές προεκτάσεις.

Ελληνικά

Από τις αρμονικές τετράδες στην υπερβολική μετρική: μία ιστορική διαδρομή με διδακτικές προεκτάσεις.

Στην παρούσα εργασία μελετάται αρχικά ο διπλός λόγος τεσσάρων σημείων, ο οποίος εντοπίζεται σε μαθηματικά κείμενα των Αρχαίων Ελλήνων Γεωμετρών και μελετάται ιδιαιτέρως σε σχέση με το πλήρες τετράπλευρο από τον Πάππο. Έκτοτε έχει διαχυθεί μέσω της Προβολικής Γεωμετρίας και έχει καθορίσει την ανάπτυξη της υπερβολικής Γεωμετρίας ως Μετρικής Γεωμετρίας. Στην παρούσα διπλωματική θα εντοπίσουμε και θα αναπτύξουμε την παραπάνω διαδρομή με στόχο κάποιες διδακτικές παρουσιάσεις της μετρικής του Υπερβολικού επιπέδου.
Η διπλωματική χωρίζεται σε τρία μέρη. Στο πρώτο μέρος παρουσιάζουμε τον λόγο, την αρμονική τετράδα, τον διπλό λόγο, τις αρμονικές δέσμες, το πλήρες τετράπλευρο, πέντε έννοιες στενά συνδεδεμένες με τη θεωρία αντιστροφής ως προς έναν κύκλο. Γεγονός που μας δίνει την αφορμή να μιλήσουμε για διάφορα είδη και δέσμες κύκλων από την αρχαιότητα, όπως για τους κύκλους του Απολλώνιου, τον κύκλο του Euler καθώς και έννοιες όπως αυτές του ριζικού άξονα, ριζικού κέντρου, της πολικής και του πόλου στις οποίες είναι βασισμένες η κατασκευή και η μελέτη τους. Ενώ θα εξετάσουμε και διάσημα θεωρήματα, όπως αυτά του Feurbach ,του Μενελάου, του Ceva ,του Desargues, του Πάππου, του Pascal και του Brianchon που στηρίζουν τα αποτελέσματα τους στις προαναφερθείσες έννοιες.
Στο δεύτερο μέρος θα δούμε τον τρόπο που οργανώνεται η γνώση όλων των γεωμετριών μέσω του προγράμματος Erlanger. Θα γνωρίσουμε τα είδη των γεωμετρικών μετασχηματισμών μεταξύ των οποίων και η αντιστροφή όπου μέσω της γεωμετρίας του Möbius αυτή τη φορά θα δούμε τον διπλό λόγο ως μία αναλλοίωτη συνάρτηση που αφήνει αναλλοίωτο το σύνολο των c-γραμμών. Μέσα από αυτό το γνωστικό ταξίδι θα συνδέσουμε τον διπλό λόγο με την υπερβολική μετρική διαμέσου του κυκλικού μοντέλου και του μοντέλου του ημιεπιπέδου της υπερβολικής γεωμετρίας. Και κατ’ επέκταση θα υπολογίσουμε τριγωνικά εμβαδά. Θα τελειώσουμε αυτό το μέρος της εργασίας παρουσιάζοντας προβολικούς μετασχηματισμούς ,μιλώντας προφανώς για Προβολική Γεωμετρία με σκοπό να δώσουμε δύο διαφορετικούς τρόπους προσέγγισης των αποδείξεων των Θεωρημάτων του Desargues και του Πάππου.
Ενώ στο τρίτο μέρος θα δούμε μέσω εφαρμογών αποτελέσματα του μετασχηματισμού αντιστροφής με χρήση της αναλυτικής γεωμετρίας, καθώς και με χρήση της Möbius γεωμετρίας. Έτσι με τη βοήθεια της τελευταίας θα συμπεράνουμε ότι τέσσερα διαφορετικά σημεία είναι ομοκυκλικά ή συγγραμμικά αν και μόνο αν ο διπλός λόγος τους είναι πραγματικός, βλέποντας τον όπως εξάλλου και στο δεύτερος μέρος ως μία αναλλοίωτη συνάρτηση. Ολοκληρώνουμε την εργασία αυτή με την Άρβηλο, κατασκευή από τρία ανά δύο εφαπτόμενα μεταξύ τους ημικύκλια των οποίων τα κέντρα βρίσκονται στην ίδια ευθεία, σχηματίζοντας ένα τριπλά ασυμπτωτικό τρίγωνο, για το οποίο κάνουμε λόγο στο δεύτερο μέρος της διπλωματικής και θα δώσουμε δύο αποδείξεις του Θεωρήματος της Αλυσίδας του Πάππου ,στηριγμένες στην πρόταση 6 (τύπος του Αρχιμήδη) του βιβλίου των λημμάτων (Liber Assumptorum-T.L.G.) και στη θεωρία της Αντιστροφής.

Θετικές Επιστήμες

Μαθηματικά

Γεωμετρία, Διπλός λόγος, Αρμονικές τετράδες, Πλήρες τετράπλευρο, Προβολική γεωμετρία, Υπερβολική μετρική

Όχι

0

Ναι

31

309

Δεν επιτρέπεται η πρόσβαση στο αρχείο. H πρόσβαση επιτρέπεται μόνο εντός του δικτύου του ΕΚΠΑ.

https://pergamos.lib.uoa.gr/uoa/dl/object/2767486