Στοιχεία επιβλεπόντων καθηγητών:
Σταύρος Γ. Παπασταυρίδης, Ομότιμος καθηγητής, Πανεπιστήμιο Αθηνών τμήματος Μαθηματικών
Περίληψη:
Δύο από τα βασικά μαθηματικά προβλήματα που οδήγησαν στην εφεύρεση του Λογισμού ήταν το πρόβλημα του προσδιορισμού του εμβαδού κάτω από καμπύλη και το πρόβλημα της εφαπτομένης. Η παρούσα διπλωματική εργασία αποτελεί μία βιβλιογραφική ανασκόπηση στο πρόβλημα της εφαπτομένης που απασχόλησε τους μεγάλους μαθηματικούς του 17ου αιώνα. Η σειρά των κεφαλαίων στηρίζεται στον χρονολογικό χάρτη των διαφόρων μεθόδων κατασκευής της εφαπτομένης, με αφετηρία τις ρίζες του προβλήματος στην αρχαιότητα, εώς τα τέλη του 17ου αιώνα που προστίθεται το αντίστροφο πρόβλημα της εφαπτομένης και τελικά η εφεύρεση του Λογισμού. Οι Fermat και Descartes είναι οι πρώτοι που εφαρμόζουν τα εργαλεία της άλγεβρας στη γεωμετρία καμπυλών, αναπτύσσοντας ξεχωριστά ο καθένας, συστηματικές μεθόδους εύρεσης της εφαπτομένης, οι οποίες όμως ήταν αποτελεσματικές μόνο σε καμπυλες της μορφης y=f(x), οπου f είναι πολυωνυμο. Το ίδιο χρονικό διάστημα ο Roberval προσεγγίζει το πρόβλημα βασιζόμενος στη κινηματική μέθοδο, ενώ λίγο αργότερα ο Hudde αναπτύσσει πιο αποτελεσματικούς μεθόδους σε καμπύλες της μορφής y=f(x), οπου f είναι πολυώνυμο, και ο Sluse αναπτύσσει κανόνες για καμπύλες της μορφης y=f(x, y), οπου f(x,y) είναι πολυώνυμο δύο μεταβλητών. Η εισαγωγή των κανόνων αυτών, σύντομα ακολουθήθηκε από πανομοιότυπες μεθόδους απειροστού χαρακτήρα, με σημαντικό εκπρόσωπο τον Barrow, ο οποίος μαζί με τον Gregory σχεδόν την ίδια χρονική περίοδο, είναι οι πρώτοι που δημοσιεύουν απόδειξη του Θεμελιώδους Θεωρήματος του Λογισμού, χωρίς όμως να αντιληφθούν τη σημαντικότητά του. Την σκυτάλη παίρνουν οι Newton και Leibniz, οι οποίοι μας δίνουν τη δυνατότητα υπολογισμού μεγάλης πληθώρας εμβαδών, διαχείρισης διαφορικών εξισώσεων κ.α., και για το λόγο αυτό θεωρούνται οι εφευρέτες του Απειροστικού Λογισμού. Μέχρι το τέλος του 17ου αιώνα το πρόβλημα της εφαπτομένης ενσωματώθηκε εξ ολοκλήρου στους γενικούς κανόνες παραγώγισης που αναπτύχθηκαν, τις «Fluxional» μεθόδους του Newton και τις «Διαφορικές» μεθόδους του Leibniz.
Λέξεις-κλειδιά:
εφαπτομένη, εμβαδόν, αντίστροφο πρόβλημα εφαπτομένης, Θεμελιώδες Θεώρημα, Λογισμός
