Στοιχεία επιβλεπόντων καθηγητών:
Λελίδης Ιωάννης, Αναπληρωτής Καθηγητής, Τμήμα Φυσικής, Εθνικό και καποδιστριακό πανεπιστήμιο Αθηνών
Περίληψη:
Η παρούσα πτυχιακή εργασία αφορά το μοντέλο κυψελοειδούς πλέγματος του Kitaev, ένα 2-διάστατο κβαντικό σύστημα με τρεις διαφορετικές αλληλεπιδράσεις τύπου Ising, ανάλογα με την κατεύθυνση κάθε δεσμού. Το μοντέλο αυτό έχει αποδειχθεί ιδιαίτερα σημαντικό για την περιγραφή κβαντικών υγρών σπιν, αλλά και για εφαρμογές στην τοπολογική κβαντική υπολογιστική, εξαιτίας των εξωτικών τοπολογικών ιδιοτήτων του. Αποτελεί το πρώτο ακριβώς λυμένο θεωρητικό πρότυπο που αναπαριστά με πληρότητα την κατάσταση ενός κβαντικού υγρού σπιν. Στην παρούσα εργασία παρουσιάζουμε αρχικά τη γεωμετρία του μοντέλου, τη Χαμιλτονιανή που περιγράφει το σύστημα καθώς και την προσέγγιση του Alexei Kitaev για εύρεση αναλυτικής λύσης μέσω αποσύνθεσης του χώρου Hilbert σε τομείς ροής. Έπειτα, παρουσιάζεται η θεμελιώδης παρατήρηση του Ettore Majorana ότι η εξίσωση Dirac επιδέχεται και πραγματικές λύσεις, γεγονός που οδηγεί στη θεωρητική πρόβλεψη των φερμιονίων Majorana — σωματίδια που ταυτίζονται με τα αντισωματίδια τους. Στη συνέχεια, εξετάζουμε πώς η χωρική αποσύνδεση των τελεστών Majorana οδηγεί στην εμφάνιση των αδέσμευτων φερμιονίων Majorana, παρουσιάζοντας τις εξωτικές τοπολογικές ιδιότητές τους σε υπεραγώγιμα καλώδια. Η αναπαράσταση της Χαμιλτονιανής στη βάση των φερμιονίων Majorana επιτυγχάνεται απεικονίζοντας τους τελεστές σπιν μέσω των τεσσάρων τελεστών Majorana. Η συγκεκριμένη αναπαράσταση αυξάνει τους βαθμούς ελευθερίας του συστήματος η μετάβαση από τον εκτεταμένο χώρο {\widetilde{\mathcal{L}}} στον φυσικό υποχώρο \mathcal{L} επιτυγχάνεται μέσω μετασχηματισμού βαθμίδας της ομάδας Z_\mathbb{2}. Στη συνέχεια, αναδιατυπώνουμε τη Χαμιλτονιανή στη βάση των φερμιονίων ύλης και ροής, μεταβαίνουμε στον χώρο της ορμής και θεωρούμε ότι το σύστημα βρίσκεται στον τομέα μηδενικής ροής. Μέσω του μετασχηματισμού Bogoliubov–de Gennes, οδηγούμαστε στη τελική διαγωνιοποιημένη Χαμιλτονιανή, στη βάση των οιωνοί σωματιδίων. Έπειτα, παρουσιάζουμε τις δυνατές φάσεις στις οποίες μπορεί να μεταβεί το σύστημα: τη φάση χωρίς ενεργειακό χάσμα (gapless, φάση B) καθώς και τις φάσεις με χάσμα (gapped, φάση A_{\alpha_i}). Υπολογίζουμε τα αντίστοιχα ενεργειακά φάσματα και παρουσιάζουμε το πλήρες διάγραμμα φάσεων. Τέλος, χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση συσχέτισης, δείχνουμε ότι όλες οι φάσεις χαρακτηρίζονται από ισχυρή κβαντική διεμπλοκή και κλασματοποίηση του σπιν, χαρακτηριστικά που κατατάσσουν το σύστημα στην κατηγορία των κβαντικών υγρών σπιν.
Λέξεις-κλειδιά:
Κβαντικό υγρό σπιν, Φερμιόνια Majorana, Τοπολογική κβαντική υπολογιστική, Εξωτικές τοπολογικές ιδιότητες
