Κατεύθυνση Εφαρμοσμένα Μαθηματικά
Βιβλιοθήκη Σχολής Θετικών Επιστημών

2012-10-17

2012

Μιχαήλ Σταμάτιος

Αλικάκος Νικόλαος Καθηγητής Ε.Κ.Π.Α.

Μελέτη Δυναμικών Συστημάτων-Η κινητική συμπεριφορά μιας φυσαλίδας(bubble) προς το σύνορο για την Cahn-Hilliard εξίσωση.

Ελληνικά

Στην παρούσα διπλωματική εργασία γίνεται μελέτη εκείνων των λύσεων της
Cahn-Hilliard εξίσωσης που παρουσιάζουν αργή κίνηση (slow motion) , και
ονομάζονται φυσαλίδες (bubble solutions).
Συγκεκριμένα, θεωρούμε τα δυναμικά των λύσεων αυτών που είναι σφαιρικές
επιφάνειες( spherical interfaces) ,που κινούνται πολύ αργά προς το σύνορο χωρίς
να αλλάζουν το σχήμα τους. Αποδεικνύεται για την Cahn-Hilliard εξίσωση, ότι η
φυσαλίδα παρασύρεται προς το πιο κοντινό σημείο του συνόρου, με την προϋπόθεση
ότι είναι πολύ μικρή. Παρόμοια συμπεριφορά παρατηρείται και στη non-local
Allen-Cahn εξίσωση όταν έχουμε διατήρηση μάζας. Η φυσαλίδα φαίνεται να
παρασύρεται εκθετικά αργά προς το πλησιέστερο σημείο του συνόρου του πεδίου
χωρίς να αλλάζει σχήμα.
Αυτό συμβαίνει γιατί η συνολική εξέλιξη πραγματοποιείται έτσι ώστε η ελεύθερη
ενέργεια να είναι μονότονη ως προς t .
Στην περίπτωση της non-local Allen-Cahn με διατήρηση μάζας, η φυσαλίδα βλέπει
μόνο το
κοντινότερο σημείο στο σύνορο και κατευθύνεται προς αυτό ακολουθώντας το τμήμα
της
ελάχιστης απόστασης. Στην περίπτωση της Cahn-Hilliard εξίσωσης, η λύση-φυσαλίδα
αλληλεπιδρά με όλο το σύνορο και μετακινείται προς αυτό ακολουθώντας ένα
μονοπάτι
που εξαρτάται από όλο το σύνορο και αλλάζει δραστικά με το μέγεθος της
φυσαλίδας.
Μόνο φυσαλίδες πολύ μικρού μεγέθους κάτω από Cahn-Hilliard δυναμικά
μετακινούνται
προς το τμήμα με την μικρότερη απόσταση όπως στην περίπτωση της non-local
Allen-Cahn.Για την ελαχιστοποίηση της ενεργειακής κατανάλωσης σε μια δεδομένη
χρονική στιγμή, η φυσαλίδα θα πρέπει να τέμνει το σύνορο σε ορθές γωνίες και θα
πρέπει να είναι ασυμπτωτικά κοντά στο τόξο του κύκλου που περικλείει την
απαιτούμενη μάζα. Τότε η φυσαλίδα θα μετακινηθεί σε γρήγορο χρονικό διάστημα
στην κατεύθυνση όπου το μέγεθος της καμπυλότητας αυξάνει στο έπακρο . Αυτή η
διαδικασία μειώνει την επιφανειακή ενέργεια( surface energy ) ώσπου να
επιτευχθεί ένα τοπικό ελάχιστο σ’ αυτή .Ένα τέτοιο ελάχιστο πιθανόν να
επιτευχθεί κοντά στην περιοχή του συνόρου όπου το μέγεθος της καμπυλότητας
παρουσιάζει ένα τοπικό μέγιστο . Αν το σύνορο περιέχει μερικά τμήματα όπου η
καμπυλότητα είναι σταθερή, η φυσαλίδα ενδέχεται να καταρρεύσει κατά μήκος του
συνόρου και να χρειαστεί περαιτέρω ασυμπτωτική ανάλυση (asymptotic
metastability analysis) .

Φυσαλίδα, Αργή κίνηση, Σύνορο, Δυναμικό, Δυαδικό μίγμα

Όχι

0

Ναι

4

36

Δεν επιτρέπεται η πρόσβαση στο αρχείο.

https://pergamos.lib.uoa.gr/uoa/dl/object/1318335