Στοιχεία επιβλεπόντων καθηγητών:
Αριστείδης Κοντογεώργης, Αναπληρωτής Καθηγητής
Περίληψη:
Σκοπός της μεταπτυχιακής αυτής εργασίας είναι η μελέτη των Modular forms και
των Ελλειπτικών καμπυλών. Τόσο οι modular forms όσο και οι ελλειπτικές καμπύλες
αποτελούν κεντρικούς τομείς της μοντέρνας θεωρίας αριθμών. Στόχος της εργασίας
αυτής είναι η μελέτη της βαθύτερης σχέσης μεταξύ των δύο αυτών αριθμοθεωρητικών
δομών, έτσι όπως αυτή εκφράζεται από το Modularity θεώρημα.
Η δομή της εργασίας έχει ως εξής: στο πρώτο κεφάλαιο αναπτύσσεται η βασική
θεωρία των αλγεβρογεωμετρικών εργαλείων που χρειάζονται για την μελέτη των
ελλειπτικών καμπυλών, ενώ στο δεύτερο κεφάλαιο μελετάται η κλασσική θεωρία της
γεωμετρίας και της αριθμητικής των ελλειπτικών καμπυλών. Πιο συγκεκριμένα,
μελετάμε το πρόβλημα του προσδιορισμού της δομής της Ε(Κ) για δοσμένο σώμα Κ.
Στο τρίτο κεφάλαιο εισερχόμαστε στο αναλυτικό κομμάτι της εργασίας. Εδώ,
κεντρικό σημείο μελέτης γίνονται το άνω μιγαδικό ημιεπίπεδο και οι modular
καμπύλες. Στο τέταρτο κεφάλαιο ορίζονται οι modular functions και οι modular
forms και εξετάζεται η δομή των χώρων τους, καθώς και των φυσιολογικών τελεστών
που δρουν σε αυτούς. Επίσης, αναπτύσσουμε την θεωρία της moduli interpretation.
Τέλος, στο τελευταίο κεφάλαιο, περιγράφουμε το γνωστό Modularity θεώρημα
μέσω μερικών διαφορετικών διατυπώσεων του.
