Περίληψη:
Το 1983, ο Alan Weinstein δημοσίευσε ενα πρωτοποριακό άρθρο το οποιο θέτει τα
θεμέλια της Γεωμετρία Ποισον. Στο άρθρο αυτο υπάρχουν τρεις βασικές ιδέες.
1. Το θεώρημα Splitting, το οποίο δίνει την τοπική δομή μια πολλαπλότητας
Ποισσον, κι αποτελεί μι απρώτη υπόδειξη ότι οι πολλαπλότητες Ποισσον είναι
ουσιαστικα φυλλώδεις δομές με συμπλεκτικά φύλλα.
2. Επίσης, το Splitting theorem δείχνει ότι οι πολλαπλότητες Ποισσον είναι
περίπλοκες δομές. Στρην προσπάθεια για απλοποίηση και στηριζόμενες στις ιδέες
του S.Lie, ο A.Weinstein έθεσε το πρόβλημα της Συμπλεκτικης Υλοποίησης. Δηλαδή
υλοποίηση μιας πολλαπλότητας Ποισσον ως πηλίκα συμπλεκτικών μέσω μιας
απεικόνισης από την συμπλεκτική πολλαπλότητα στην Ποισσον η οποία είναι επί και
Ποισσον. Οπότε ότι λύσεις έχουμε στο επίπεδο της συμπλεκτικής να της
μεταφέρουμε σε λύσεις στο επίπεδο της Ποισσον. Ο ίδιος έδειξε ότι τοπικά τέοιου
έιδους υλοποιήσεις υπάρχουν.
3. Αναζητώντας ολικές συμπλεκτικές υλοποιήσεις, εξέτασε το παραδειγμα των δομών
Lie-Poisson. Εκεί τέτοιες υλοποιήσεις δίνονται από την συνεφαπτόμενη δέσμη. Αρα
για την ευρεση μιας ολικής συμπλεκτικής υλοποίησης πρέπει να κοιτά κανείς για
κατάλληλα αλγεβροειδή Lie. Και γνωρίζοντας ότι οι πολλαπλότητες Ποισσον έχουν
με φυσικό τρόπο δομή Λιε αλγεβροειδούς, το πρόβλημα μεταφέρεται στα πλαίσια της
θεωρίας των αλγεβροειδών και ομαδοειδών Lie. Κι ουσιαστικά είναι ένα πρόβλημα
ολοκληρώσιμότητας.
Η εργασία αυτη αποτελεί κάνει μια γρήγορη εισαγωγή στη Γεωμετρια Ποισσον και
παρουσιάζει το ρόλο των αλγεβροειδών Lie καθώς επίσης και της Θεωρίας για
Φυλλώδεις Δομές στην εν λόγω θεωρία, μελετώντας τα προαναφερθέντα αποτελέσματα.
Λέξεις-κλειδιά:
Πολλαπλότητες Ποισσόν, Συμπλεκτική Υλοποίηση, Αλγεβροειδή Λιε, Ιδιαζουσες Φυλλώδεις Δομές, Ολοκλήρωση Αλγεβροειδών
