Βέλτιστη μεταφορά του μέτρου και γεωμετρικές ανισότητες

Διπλωματική Εργασία uoadl:1316540 292 Αναγνώσεις

Μονάδα:
Κατεύθυνση Θεωρητικά Μαθηματικά
Βιβλιοθήκη Σχολής Θετικών Επιστημών
Ημερομηνία κατάθεσης:
2014-11-13
Έτος εκπόνησης:
2014
Συγγραφέας:
Παπανικολάου Σουλτάνα
Στοιχεία επιβλεπόντων καθηγητών:
Γιαννόπουλος Απόστολος Καθηγητής (επιβλέπων), Κατάβολος Αριστείδης Καθηγητής, Μερκουράκης Σοφοκλής Καθηγητής
Πρωτότυπος Τίτλος:
Βέλτιστη μεταφορά του μέτρου και γεωμετρικές ανισότητες
Γλώσσες εργασίας:
Ελληνικά
Μεταφρασμένος τίτλος:
Optimal transportation of measure and geometric inequalities
Περίληψη:
Το πρόβλημα της βέλτιστης μεταφοράς της μάζας πρωτοεισηγήθηκε το 1781 ο Γάλλος
γεωμέτρης Monge και επιλύθηκε καιρό αργότερα κάτω από συγκεκριμένες υποθέσεις
σχετικά με τα μέτρα πιθανότητας και την συνάρτηση κόστους. Στην παρούσα εργασία
γίνεται ιδιαίτερη αναφορά στα βασικά θεωρήματα και εργαλεία που
χρησιμοποιήθηκαν και οδήγησαν στην επίλυση αυτού του προβλήματος, με κυριότερα
το θεώρημα δυϊσμού του Kantorovich και το θεώρημα του McCann, το οποίο αποτελεί
μία αναθεωρημένη εκδοχή του θεωρήματος του Brenier και επιλύει το αρχικό
πρόβλημα του Monge μέσω γεωμετρικών επιχειρημάτων.Ο Kantorovich επινόησε μιά
βολική αντίληψη της απόστασης μεταξύ μέτρων πιθανότητας που ήταν η εξής: η
απόσταση μεταξύ δύο μέτρων πιθανότητας πρέπει να είναι το βέλτιστο κόστος
μεταφοράς από το ένα στο άλλο, αν θεωρήσουμε το κόστος ως την συνάρτηση
απόστασης αυτών. Αυτή η απόσταση των μέτρων πιθανότητας είναι γνωστή σήμερα ως
η απόσταση Kantorovich-Rubinstein. Ενα επιπλέον χρήσιμο εργαλείο που προκύπτει
μέσω αυτής της θεωρίας είναι οι αποστάσεις Wasserstein, οι οποίες είναι
αποστάσεις που επάγονται από την τιμή του βέλτιστου κόστους μεταφοράς, όταν το
κόστος είναι μία δύναμη της απόστασης. Στο τελευταίο κομμάτι της εργασίας
γίνεται παρουσίαση των εφαρμογών που έχει αυτή η θεωρία πάνω σε κάποιες βασικές
και χρήσιμες γεωμετρικές ανισότητες, τις οποίες αποδεικνύουμε εκ νέου μέσω της
βέλτιστης μεταφοράς του μέτρου.
Λέξεις-κλειδιά:
Βέλτιστη μεταφορά του μέτρου, Θεώρημα δυϊσμού του Kantorovich, Γεωμετρικές ανισότητες, Αποστάσεις Wasserstein, Θεώρημα του McCann
Ευρετήριο:
Όχι
Αρ. σελίδων ευρετηρίου:
0
Εικονογραφημένη:
Όχι
Αρ. βιβλιογραφικών αναφορών:
65
Αριθμός σελίδων:
126