Γενικευμένο Πρόβλημα Ιδιοτιμών

Διπλωματική Εργασία uoadl:1316613 149 Αναγνώσεις

Μονάδα:
Κατεύθυνση Εφαρμοσμένα Μαθηματικά
Βιβλιοθήκη Σχολής Θετικών Επιστημών
Ημερομηνία κατάθεσης:
2015-05-26
Έτος εκπόνησης:
2015
Συγγραφέας:
Μπικοπούλου Σοφία
Στοιχεία επιβλεπόντων καθηγητών:
Μαριλένα Μητρούλη Αναπλ. Καθηγήτρια
Πρωτότυπος Τίτλος:
Γενικευμένο Πρόβλημα Ιδιοτιμών
Γλώσσες εργασίας:
Ελληνικά
Μεταφρασμένος τίτλος:
Generalised Eigenvalue Problem
Περίληψη:
Το πρόβλημα εύρεσης ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων συναντάται σε πολλές
πρακτικές εφαρμογές των επιστημών. Ειδικότερα, προβλήματα της φυσικής και της
μηχανικής απαρτίζονται από συστήματα διαφορικών εξισώσεων, των οποίων η λύση
εκφράζεται με τη βοήθεια ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων. Το συμμετρικό
γενικευμένο πρόβλημα εμφανίζεται σε πολλές επιστημονικές εφαρμογές, κυρίως της
γεωλογίας, της θεωρίας ελέγχου και συστημάτων, της ανάλυσης δονήσεων μηχανικών
δομών αλλά και της επεξεργασίας εικόνας. Η παρούσα διπλωματική εργασία
σχετίζεται με τη διερεύνηση του κανονικού και του γενικευμένου προβλήματος
ιδιοτιμών και χωρίζεται σε τρεις κύριες θεματικές ενότητες.Το πρώτο μέρος
παρουσιάζει τις ευρέως γνωστές αριθμητικές μεθόδους, των οποίων η χρησική αξία
είναι εμφανής σε μαθηματικά προβλήματα. Αποτελεσματικές, ακριβείς μέθοδοι
υπολογισμού ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων τυχαίων πινάκων δεν ήταν γνωστές,
μέχρι την ανακάλυψη της QR παραγοντοποίησης. Υπάρχουν πολλοί τρόποι υπολογισμού
της QR παραγοντοποίησης, όπως οι μετασχηματισμοί Gram-Schmidt, Householder και
Givens. Ο κάθε μετασχηματισμός έχει μειονεκτήματα και πλεονεκτήματα. Για
συγκεκριμένες περιπτώσεις απαιτούνται αποτελεσματικοί εξειδικευμένοι
αλγόριθμοι. Για παράδειγμα, στην περίπτωση των μεγάλων αραιών πινάκων, ο
αλγόριθμος Lanczos είναι μία αποτελεσματική επαναληπτική μέθοδος υπολογισμού
ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων ενός πίνακα.Το δεύτερο μέρος αποτελείται από μία
πλήρη ανάλυση αριθμητικών μεθόδων, στοχεύοντας την επίλυση του κανονικού
προβλήματος ιδιοτιμών. Ανάμεσα στους αλγόριθμους που περιγράφονται στην ενότητα
αυτή, η Power Method και η Inverse Iteration είναι οι πιο διαδεδομένες
μέθοδοι αν η μεγαλύτερη ιδιοτιμή και το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα είναι προς
υπολογισμό, και η Implicit QR Iteration, αν απαιτούνται όλες οι ιδιοτιμές. Η
χρησιμότητα της QR παραγοντοποίησης είναι πασιφανής στο συγκεκριμένο σημείο.
Στο τρίτο μέρος, το κεντρικό μέρος της εργασίας αυτής, παρουσιάζεται το
γενικευμένο και το συμμετρικό γενικευμένο πρόβλημα ιδιοτιμών. Οι αλγόριθμοι που
χρησιμοποιήθηκαν νωρίτερα λειτουργούν με βάση τα πλεονεκτήματα των νέων
δεδομένων. Ο αλγόριθμος QZ και οι μέθοδοι Arnoldi και Lanczos ξεχωρίζουν
εξαιτίας της υπολογιστικής αποτελεσματικότητάς τους. Πιο σύγχρονοι αλγόριθμοι,
όπως ο MDR και οι διαφορετικές περιπτώσεις του, υπόσχονται υπολογιστική
υλοποιησιμότητα με ταχύτερη σύγκλιση.
Λέξεις-κλειδιά:
Ιδιοτιμή, Πρόβλημα Ιδιοτιμών, QZ Αλγόριθμος
Ευρετήριο:
Όχι
Αρ. σελίδων ευρετηρίου:
0
Εικονογραφημένη:
Όχι
Αρ. βιβλιογραφικών αναφορών:
18
Αριθμός σελίδων:
108