Στοιχεία επιβλεπόντων καθηγητών:
Ιωάννης Στρατής Καθηγ. ΕΚΠΑ (Επιβλέπων), Αθανάσιος Γιαννακόπουλος Καθηγ. Ο.Π.Α, Απόστολος Μπουρνέτας Καθηγ. Ε.Κ.Π.Α
Περίληψη:
Η θεωρία των μεγάλων αποκλίσεων ασχολείται με τις πιθανότητες των σπάνιων
γεγονότων (ή διακυμάνσεων) που είναι εκθετικά μικρές ως συνάρτηση κάποιας
παραμέτρου, π.χ., ο αριθμός των τυχαίων συστατικών ενός συστήματος, ο χρόνος
κατά τον οποίο ένα στοχαστικό σύστημα
παρατηρείται, το πλάτος του θορύβου, ο οποίος διαταράσσει ένα δυναμικό σύστημα
ή την θερμοκρασία μιας χημικής αντίδρασης. Η θεωρία έχει εφαρμογές σε πολλούς
διαφορετικούς επιστημονικούς τομείς, που κυμαίνονται από την θεωρία ουρών στη
στατιστική και από τις
οικονομικές επιστήμες στις επιστήμες των μηχανικών. Επίσης, χρησιμοποιείται όλο
και περισσότερο στη στατιστική φυσική για τη μελέτη ισορροπημένων και μη-
ισορροπημένων συστημάτων. Σε αυτό το πλαίσιο, βαθιές αναλογίες μπορούν να
γίνουν μεταξύ γνωστών εννοιών
της στατιστικής φυσικής, όπως η εντροπία και η ελεύθερη ενέργεια, και εννοιών
της θεωρίας μεγάλων αποκλίσεων, οι οποίες έχουν περισσότερο τεχνικές ονομασίες,
όπως η συνάρτηση ρυθμού και η ανηγμένη αθροιστική γεννήτρια συνάρτηση. Το πρώτο
κεφάλαιο αυτής της μεταπτυχιακής εργασίας παρουσιάζει τα βασικά στοιχεία της
θεωρίας των μεγάλων αποκλίσεων στα μαθηματικά. Εστιάζουμε στις απλές αλλά πολύ
σημαντικές ιδέες πίσω από τη συγκεκριμένη θεωρία, αναφέρεται σε μη τεχνικούς
όρους, και για την εφαρμογή αυτών των ιδεών σε απλές στοχαστικές διαδικασίες,
όπως οι δειγματικοί μέσοι των ανεξάρτητων και όμοια κατανεμημένων
τυχαίων μεταβλητών και οι διαδικασίες Markov. Στο δεύτερο κεφάλαιο, το
αριθμητικό πρόβλημα της αξιολόγησης πιθανοτήτων μεγάλης απόκλισης
αντιμετωπίζεται σε βασικό επίπεδο. Η βασική ιδέα της δειγματοληψίας
σημαντικότητας εισάγεται εκεί μαζί με την συγγενική της ιδέα, την εκθετική
αλλαγή του μέτρου. Επίσης, υπάρχει μια βασική αναφορά σχετικά με τις εφαρμογές
της θεωρίας των μεγάλων αποκλίσεων στη φυσική, τις οικονομικές επιστήμες και
την ασφάλιση. Τέλος, στο τρίτο κεφάλαιο, θα επανεξετάσουμε τη θεωρία των
μεγάλων αποκλίσεων για στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις στο όριο μικρού
θορύβου.
Λέξεις-κλειδιά:
Μεγάλες Αποκλίσεις, Κατανομή Πιθανοτήτων, Στοχαστική διαδικασία, Προσομοίωση, Στοχαστική διαφορική Εξίσωση
