Κατεύθυνση Εφαρμοσμένα Μαθηματικά
Βιβλιοθήκη Σχολής Θετικών Επιστημών

2017-02-28

2016

Σβώλος Λάμπρος

Δουγαλής Βασίλειος Καθηγητής Τμημ. Μαθηματικών ΕΚΠΑ, Δρακόπουλος Μιχαήλ Επίκ. Καθηγητής Τμημ. Μαθηματικών ΕΚΠΑ, Νοτάρης Σωτήριος Αναπλ. Καθηγητής Τμημ. Μαθηματικών ΕΚΠΑ

Μέθοδοι Galerkin - πεπερασμένων στοιχείων για υπερβολικές Μ.Δ.Ε. πρώτης τάξης

Ελληνικά

Μέθοδοι Galerkin - πεπερασμένων στοιχείων
για υπερβολικές Μ.Δ.Ε. πρώτης τάξης

Σε αυτήν την εργασία θα μελετήσουμε μεθόδους Galerkin - πεπερασμένων στοιχείων για υπερβολικές μερικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης σε μια διάσταση. Οι προσεγγιστικές μέθοδοι χρησιμοποιούνται για την επίλυση της εξίσωσης μεταφοράς (transport equation).

Στο δεύτερο κεφάλαιο θα περιγράψουμε κάποια θεωρητικά στοιχεία για την γραμμική εξίσωση μεταφοράς
ut + α ux = f(x,t)
Πιο συγκεκριμένα, εφαρμόζουμε τη μέθοδο των χαρακτηριστικών καμπύλων για την προαναφερθείσα εξίσωση και χρησιμοποιούμε τη μέθοδο για προσδιορίσουμε τις συνοριακές και αρχικές συνθήκες για ένα καλά τοποθετημένο πρόβλημα. Ύστερα από αυτά τα βήματα παρουσιάζουμε το πρόβλημα το οποίο θα αποτελέσει το «μοντέλο» για την εφαρμογή των αριθμητικών μεθόδων που θα παρουσιαστούν στα επόμενα κεφάλαια.

Στο τρίτο κεφάλαιο θα μελετηθεί η συνήθης μέθοδος Galerkin. Αναλυτικότερα, βλέπουμε τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων με ομαλές Splines όπου ο χώρος προσέγγισης και ο χώρος των συναρτήσεων δοκιμής (test functions) είναι ο ίδιος. Προκειμένου να διατυπωθούν οι εκτιμήσεις σφαλμάτων για αυτές τις μεθόδους δίνουμε κάποια στοιχεία για τις αντίστροφες ανισότητες που ισχύουν στους χώρους πεπερασμένης διάστασης όπως στο χώρο των τμηματικά γραμμικών συναρτήσεων ή στο χώρο των κυβικών Splines. Κατόπιν, διατυπώνονται και αποδεικνύονται τα θεωρήματα για τις εκτιμήσεις των σφαλμάτων για την ημιδιακριτή προσέγγιση (που είναι συνεχής συνάρτηση ως προς το χρόνο t). Σε αυτό το σημείο παρατηρούμε ότι λαμβάνουμε μεγαλύτερη τάξη ακρίβειας αν έχουμε ομοιόμορφο διαμερισμό. Το τελευταίο αποτέλεσμα υπερσύγκλισης επιβεβαιώνεται στο τέλος τους κεφαλαίου με υπολογιστικά πειράματα για διάφορα πλήρως διακριτά σχήματα. Τέλος, υπολογιστικά πειράματα εκτελούνται με αριθμητικά σχήματα όπου η διακριτοποίηση ως προς το χρόνο t γίνεται με τις μεθόδους του τραπεζίου ή των Runge-Kutta 4ης τάξης ενώ η διακριτοποίηση ως προς το χώρο x γίνεται με τμηματικά γραμμικές συναρτήσεις ή τις κυβικές Splines.

Στο τέταρτο κεφάλαιο θα περιγραφεί μια μέθοδος του G. Baker για πρώτης τάξης υπερβολικές εξισώσεις που δημοσιεύτηκε[6] το 1975. Η μέθοδος βασίζεται σε μια μη κλασσική μεταβολική διατύπωση της εξίσωσης μεταφοράς σε υπόχωρους του L2 και του H1. Αρχικά ορίζονται κατάλληλοι συμβολισμοί και χώροι συναρτήσεων που χρησιμοποιούνται για τις αποδείξεις των εκτιμήσεων των σφαλμάτων. Η προσεγγιστική λύση ανήκει σε ένα χώρο ασυνεχών τμηματικά πολυωνυμικών συναρτήσεων βαθμού r-1 όπου r ≥1 ενώ οι συναρτήσεις δοκιμής (test functions) έχουν κατάλληλη μορφή ώστε να είναι συμβατές με τη μεταβολική μορφή του προβλήματος. Παρουσιάζουμε τις βάσεις των δύο αυτών χώρων και αποδεικνύουμε ότι έχουν ίση διάσταση. Στη συνέχεια διατυπώνονται και αποδεικνύονται βασικά θεωρήματα όπως ένα θεώρημα προβολής. Όλα τα προαναφερθέντα χρησιμοποιούνται στις εκτιμήσεις σφαλμάτων των παρακάτω σχημάτων.

1ο Σχήμα: (ημιδιακριτό) Η προσέγγιση είναι συνεχής ως προς το χρόνο t ενώ η βέλτιστη εκτίμηση σφάλματος που προσδιορίζεται στην L2 νόρμα είναι O(hr).

2ο Σχήμα: (πλήρως διακριτό) Η προσέγγιση είναι σημειακή και επιτυγχάνεται με διακριτοποίηση τύπου Crank-Nicolson. Η βέλτιστη εκτίμηση σφάλματος που προσδιορίζεται στην L2 νόρμα είναι O(hr+τ2).

Τέλος, επιβεβαιώνονται αριθμητικά οι τάξεις ακρίβειας των προαναφερθέντων μεθόδων και δοκιμάζονται σε προβλήματα με ασυνέχειες.

Θετικές Επιστήμες

Μαθηματικά

Μέθοδοι πεπερασμένων στοιχείων
Υπερβολικές Μ.Δ.Ε.
Εξίσωση μεταφοράς
Συνήθης μέθοδος Galerkin
Μέθοδος του G. Baker

Όχι

0

Ναι

8

99

Δεν επιτρέπεται η πρόσβαση στο αρχείο. H πρόσβαση επιτρέπεται μόνο εντός του δικτύου του ΕΚΠΑ.

https://pergamos.lib.uoa.gr/uoa/dl/object/1327888