Στοιχεία επιβλεπόντων καθηγητών:
Ιωάννης Στρατής, Καθηγητής, Μαθηματικών, ΕΚΠΑ
Λεώνη Ευαγγελάτου- Δάλλα, Καθηγήτρια, Μαθηματικών, ΕΚΠΑ
Γεράσιμος Μπαρμπάτης, Αναπληρωτής καθηγητής, Μαθηματικών, ΕΚΠΑ
Περίληψη:
Η ολοένα αυξανόμενη ποσότητα βιολογικών πειραματικών δεδομένων σε όλους τους κλάδους της βιολογίας σε συνδυασμό με τις δυνατότητες που παρέχουν τα μαθηματικά δίνει ώθηση στη δημιουργία πολλών μοντέλων πρόβλεψης για τα βιολογικά συστήματα. Συνήθως, η έρευνα ξεκινά με την εκτέλεση πειραμάτων σε ένα θέμα της βιολογίας και με την αντιμετώπιση της πολυπλοκότητας των υποκυτταρικών στοιχείων προκειμένου να προχωρήσει στη μοντελοποίηση και κατανόηση των παραγόντων που χρειάζεται να ληφθούν υπόψη ή να αγνοηθούν ώστε το εν λόγω μοντέλο να καταστεί επιτυχές. Η εμπειρία των εφαρμογών στη βιολογία δείχνει ότι μέσα από τη συνεργασία τους προοδεύει τόσο η μία επιστήμη όσο και άλλη και τον τελευταίο αιώνα αυτή τους η αλληλεπίδραση οδήγησε σε ραγδαία εξέλιξη.Σε όλα τα επίπεδα των βιολογικών κοινωνιών, δηλαδή σε μόρια, κύτταρα, οργανισμούς, πληθυσμούς, κοινότητες και οικοσυστήματα η μοντελοποίηση των βιολογικών διαδικασιών είναι ιδιαίτερα σημαντική. Η έννοια μοντέλο, βέβαια, στη βιολογία επιδέχεται πολλές ερμηνείες. Κάποιες ιδέες περιγράφονται με μοντέλα ποιοτικά, άλλα μοντέλα διαμορφώνονται μαθηματικά, όπως αυτά που περιγράφουν αλληλεπιδράσεις θηράματος – θύτη, με διαφορικές εξισώσεις. Ακόμα, υπάρχουν πιο πολύπλοκα μοντέλα που κατασκευάζονται για να συλλάβουν πιο λεπτά στοιχεία από πολλά πραγματικά συστήματα δεδομένων, μερικά από τα οποία αποτελούν συστήματα μερικών διαφορικών εξισώσεων. Τα βιολογικά συστήματα παρουσιάζουν συγκεκριμένες δυσκολίες ως προς την επίλυσή τους εξαιτίας του μεγάλου αριθμού των τύπων των αντικειμένων και των αντικειμένων κάθε τύπου αλλά και της πολυπλοκότητας των αλληλεπιδράσεων μεταξύ των αντικειμένων.Επιτυχίες έχουν σημειωθεί σε όλα τα επίπεδα (μόρια, κύτταρα, οργανισμούς, πληθυσμούς, κοινότητες και οικοσυστήματα). Στην παρούσα μεταπτυχιακή διπλωματική εργασία παρουσιάζονται μοντέλα αλλά και οι σχετικές μαθηματικές τεχνικές, που αποδείχθηκαν παραγωγικά στη βιολογία. Εισάγεται η έννοια των μοντέλων συνήθων διαφορικών εξισώσεων, ο σχηματισμός τους, η ανάλυση και η ερμηνεία τους μέσα από ένα απλό ως προς την περιγραφή του πείραμα στη μικροβιολογία ανάπτυξης μονοκύτταρων μικροοργανισμών. Συγκεκριμένα το μοντέλο αφορά βακτήρια και τις μεταβολές στον πληθυσμό τους σε δεδομένο χρονικό διάστημα σε σχέση με τα θρεπτικά στοιχεία που καταναλώνουν, ενώ το πείραμα διεξάγεται σε εργαστηριακές συνθήκες, σε ένα μέσο που ονομάζεται χημοστάτης. Το μοντέλο έχει τις βάσεις του στους ισχυρισμούς του Malthus για τις επιπτώσεις της αύξησης του πληθυσμού αλλά και στο λογιστικό μοντέλο του Verhulst. Δεδομένου ότι το μοντέλο για τον χημοστάτη είναι πολύπλοκο ως προς την ερμηνεία του φαίνεται ότι οι μόνες λύσεις που μπορούν να βρεθούν αναλυτικά είναι οι σταθερές καταστάσεις. Οι ιδιότητες ευστάθειας αυτών των λύσεων είναι υψίστης σημασίας καθώς σε βιολογικά προβλήματα υπάρχουν πάντα μικρές διαταραχές και το θέμα είναι πότε οι αποκλίσεις από τις σταθερές καταστάσεις οδηγούν σε μεγάλες μεταβολές ή όχι.Παρουσιάζονται παραδείγματα σχετικά με τη μαθηματική περιγραφή του χημοστάτη με σημαντικές κλινικές εφαρμογές, όπως στον καρκίνο, όπου τελικά το αποτέλεσμα της χημειοθεραπείας, δηλαδή η απόκριση του κυττάρου που υπόκειται σε θεραπεία καθορίζεται από τη δυναμική αλληλεπίδραση πολλών βιολογικών παραγόντων, όπως προσανατολισμός της θεραπείας στα κύτταρα, μηχανισμοί της δράσης του φαρμάκου, ανάπτυξη και διαφοροποίηση των κυτταρικών πληθυσμών και ανάπτυξη αντίστασης.Πολλές φορές οι εξισώσεις που περιγράφουν ένα βιολογικό πρόβλημα είναι μη γραμμικές και μια χρήσιμη μέθοδος για την ανάλυση της ευστάθειας είναι η γραμμικοποίηση, η οποία, ωστόσο, μπορεί να παρέχει τοπική πληροφόρηση. Μοντέλα που στοχεύουν στην περιγραφή φαινομένων, όπου οι αλληλεπιδράσεις μεταξύ ατόμων, ειδών και πληθυσμών οδηγούν σε σχέσεις οι οποίες εξαρτώνται από μεταβλητές με ένα σύνθετο τρόπο, περιέχουν μη γραμμικές εξισώσεις που είναι δύσκολο, αν όχι αδύνατο, να λυθούν με κλειστό αναλυτικό τρόπο. Ωστόσο, ο υπολογισμός τέτοιων λύσεων δεν είναι πάντα απαραίτητος αφού τα ποιοτικά χαρακτηριστικά τους μπορούν να καθορίζονται γεωμετρικά, με συνδυασμό βασικών γεωμετρικών ιδεών και διαίσθησης. Η γεωμετρική θεωρία παρέχει τη δυνατότητα για κάτι τέτοιο αφού καθιστά εφικτή την ανάκτηση μιας εικόνας που δίνει περισσότερες πληροφορίες από ότι οι μαθηματικές εκφράσεις και έτσι επιτυγχάνεται βαθύτερη κατανόηση του τρόπου με τον οποίο οι παράμετροι και οι σταθερές που εμφανίζονται στις εξισώσεις επηρεάζουν τη συμπεριφορά του συστήματος.Η γεωμετρική θεωρία εφαρμόζεται στην παρούσα εργασία για την ερμηνεία των λύσεων για τον χημοστάτη. Στη συνέχεια, εφαρμόζεται σε πληθυσμιακά μοντέλα στα οποία εφόσον τίθεται το θέμα μελέτης ενός οικοσυστήματος, δύο ή και περισσότερα είδη αλληλεπιδρούν και ως εκ τούτου ο πληθυσμός ενός εξ αυτών δεν μπορεί να μελετηθεί ανεξάρτητα από τον πληθυσμό των άλλων ειδών. Παρουσιάζονται τα μοντέλα θηρευτή – θηράματος των Lotka και Volterra, μοντέλα ανταγωνισμού, συμβίωσης αλλά και το επιδημιολογικό μοντέλο SIR Των Kermack και McKendrick.Επίσης, τα μαθηματικά μοντέλα χρησιμοποιούνται ευρέως προκειμένου να περιγράψουν χημικές αντιδράσεις που μελετώνται από τη χημική κινητική και παράμετροι αυτών, όπως η ταχύτητα με την οποία πραγματοποιούνται, οι πειραματικές συνθήκες που επηρεάζουν αυτήν την ταχύτητα, ο μηχανισμός αντίδρασης αλλά και οι μεταβατικές καταστάσεις. Παρουσιάζεται μια μέθοδος με την οποία μπορούμε εύκολα να γράφουμε διαφορικές εξισώσεις που προκύπτουν από χημικές αντιδράσεις και μαθηματικά οι νόμοι διατήρησης ως αποτέλεσμα θεμελιωδών εξισώσεων στις φυσικές επιστήμες. Στη συνέχεια, η παρούσα μεταπτυχιακή διπλωματική εργασία επεκτείνεται στις ενζυμικές αντιδράσεις, τις διαφορικές εξισώσεις που τις περιγράφουν και φαινόμενα αναστολής και συνέργειας. Μελετώνται μέθοδοι προσέγγισης οιονεί σταθερής κατάστασης και το μοντέλο των Michaelis – Menten. Στις μεθόδους προσέγγισης συγκαταλέγονται οι μέθοδοι ιδιόμορφων διαταραχών που δίνουν τη δυνατότητα εύρεσης προσεγγιστικής λύσης του προβλήματος όταν οι εξισώσεις που το περιγράφουν περιέχουν μικρούς όρους.Η συνέργεια έχει κεντρικό ρόλο στα πολυευσταθή συστήματα, στη μνήμη και την ανάπτυξη, όπου προκύπτουν υπερβολικές και σιγμοειδείς αντιδράσεις. Μελετάται, ακόμα, η κυτταρική διαφοροποίηση, μέσα από το μοντέλο του Lewis, στην οποία βασικό ρόλο διαδραματίζουν οι διακλαδώσεις. Επιπλέον, δεδομένου ότι η περιοδικότητα είναι ένα εγγενές φαινόμενο στα έμβια όντα και περιοδική συμπεριφορά εμφανίζεται στη διαίρεση του κυττάρου, στα σήματα που εκπέμπονται από τους νευρώνες κ.α. σημαντική καθίσταται η μελέτη της ευστάθειας αυτών των περιοδικών φαινομένων. Εισάγονται οι έννοιες των περιοδικών τροχιών και των οριακών κύκλων. Διατυπώνεται το θεώρημα των Poincare – Bendixson και παρουσιάζονται βασικές ιδέες της θεωρίας των διακλαδώσεων, που χρησιμοποιούνται όταν οι παράμετροι ενός συστήματος μεταβάλλονται λίγο. Τέλος, παρουσιάζεται το μοντέλο των Hodgkin και Huxley, ένα από τα πιο σημαντικά μοντέλα, το οποίο περιγράφει το δυναμικό της ενέργειας στα κύτταρα και είναι ένα αποτέλεσμα ιδιαίτερα επιτυχούς αλληλεπίδρασης βιολογίας και μαθηματικών.
