Κατεύθυνση Εφαρμοσμένα Μαθηματικά
Βιβλιοθήκη Σχολής Θετικών Επιστημών

2017-06-27

2017

Σπανός Γεώργιος

Ιωάννης Στρατής, Καθηγητής, τμήμα Μαθηματικών, Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών
Νικόλαος Αλικάκος, Καθηγητής, τμήμα Μαθηματικών, Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών
Νικόλαος Καραχάλιος, Καθηγητής, τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου

Semilinear Parabolic Evolution Equations and an Application to the Lotka-Volterra System with Diffusion

Αγγλικά

Ημιγραμμικές Παραβολικές Εξελικτικές Εξισώσεις και μια Εφαρμογή στο Σύστημα Lotka-Volterra με Διάχυση

Σκοπός αυτής της διπλωματικής εργασίας είναι η μελέτη κάποιων βασικών μεθόδων και θεωρητικών αποτελεσμάτων των τελευταίων δεκαετιών, σχετικών με τη θεωρία των χρονικά μεταβαλλόμενων (εξελικτικών) ημιγραμμικών εξισώσεων (η μη-γραμμικότητα εμφανίζεται μόνο στους όρους χαμηλότερης τάξης) και συστημάτων παραβολικού τύπου.
Το κύριο εργαλείο μας για αυτά τα εξελικτικά προβλήματα θα είναι οι γραμμικές μονοπαραμετρικές Ημιομάδες Τελεστών, η βασική θεωρία των οποίων θα μας απασχολήσει στο πρώτο κεφάλαιο. Συγκεκριμένα, επιδιώκουμε να βρούμε συνθήκες κάτω από τις οποίες ένας (γενικά όχι φραγμένος) τελεστής σε ένα χώρο Banach παράγει μια ημιομάδα και αντίστροφα, καθώς και να συσχετίσουμε αυτές τις ημιομάδες με τη λύση του αφηρημένου γραμμικού προβλήματος Cauchy.
Στο δεύτερο κεφάλαιο, χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα του πρώτου κεφαλαίου, διατυπώνουμε κάποια βασικά αποτελέσματα σχετικά με τις λύσεις του ημιγραμμικού προβλήματος Cauchy (τοπική/ολική ύπαρξη, μοναδικότητα, ομαλότητα).
Το τρίτο κεφάλαιο είναι αφιερωμένο στην εξίσωση θερμότητας, τη χαρακτηριστική εκπρόσωπο της κλάσης των παραβολικών εξισώσεων. Αφού εξετάσουμε εν συντομία τη γραμμική περίπτωση, περνάμε στη μελέτη της ημιγραμμικής εξίσωσης. Στην παράγραφο 3.4 δίνουμε συνθήκες για ολική ύπαρξη λύσεων για "αρκετά μικρά” ή "αρκετά μεγάλα” αρχικά δεδομένα. Ιδιαίτερα χρήσιμη εδώ είναι η μορφή της αρχής μεγίστου που διατυπώνεται στην αρχή της παραγράφου. Στην παράγραφο 3.5 παρουσιάζουμε δύο χαρακτηριστικές μεθόδους για την μελέτη της έκρηξης λύσεων (blow-up) σε πεπερασμένο χρόνο.
Στο τελευταίο κεφάλαιο μελετάμε κάποιες βασικές ιδιότητες των λύσεων ενός αρκετά γενικού συστήματος Αντίδρασης-Διάχυσης στο πλαίσιο των οικολογικών μοντέλων (θηρευτές-θηράματα) και στη συνέχεια εξειδικεύουμε τα αποτελέσματα για το σύστημα Lotka-Volterra με διάχυση. Τα αποτελέσματα αυτού του κεφαλαίου προέρχονται από την εργασία του Ν. Αλικάκου (1979) και βελτιώνουν κάποια προηγούμενα σχετικά αποτελέσματα των Chow και Williams (1978). Το σημαντικό θεώρημα που επιτρέπει αυτή τη βελτίωση βρίσκεται στην παράγραφο 4.3.
Κάποιες απλές έννοιες και προτάσεις από τη θεωρία των Δυναμικών Συστημάτων που χρησιμοποιήσαμε στο Κεφάλαιο 4 περιλαμβάνονται στο Παράρτημα στο τέλος της εργασίας.

Θετικές Επιστήμες

Ανάλυση

Ημιομάδες Τελεστών, Διαφορικές Εξισώσεις παραβολικού τύπου, σύστημα Lotka-Volterra

Όχι

0

Ναι

11

68

Δεν επιτρέπεται η πρόσβαση στο αρχείο. H πρόσβαση επιτρέπεται μόνο εντός του δικτύου του ΕΚΠΑ.

https://pergamos.lib.uoa.gr/uoa/dl/object/1687499