Στοιχεία επιβλεπόντων καθηγητών:
Σωτήρης Νοτάρης, Καθηγητής, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ
Περίληψη:
Η παρούσα διπλωματική ασχολείται με δυο από τα πιο παλιά και σημαντικά θέματα του τομέα της Αριθμητικής Ανάλυσης και της Θεωρίας Προσέγγισης, την Πολυωνυμικη Παρεμβολή και την Αριθμητική Ολοκλήρωση. Στο πρώτο κομμάτι της εργασίας γίνεται μια προσπάθεια να απαντηθούν ερωτήματα σχετικά με την προσέγγιση μιας συνεχούς συνάρτησης από ένα πολυώνυμο βαθμού n, το οποίο συμφωνεί με την f σε n+1 σημεία, γνωστό ως το πολυώνυμο παρεμβολής σε αυτά τα σημεία. Στο παρελθόν, υπήρχε η πεποίθηση ότι αυτή η μέθοδος προσέγγισης είναι πάντα επιτυχής καθώς ο αριθμός των σημείων παρεμβολής τείνει στο άπειρο, με την έννοια ότι τείνει στο 0. Θα δείξουμε μερικά γενικά αποτελέσματα που οδηγούν στο θεώρημα του Faber, καθιστώντας αυτήν την πεπoιθηση λάθος. Στο δεύτερο μέρος του κεφαλαίου, θα δείξουμε τη σημασία των πολυωνύμων Chebychev στην πολυωνυμικη παρεμβολή. Πιο συγκεκριμένα, συνδυάζοντας τις ιδιότητες των κόμβων Chebychev 1ου είδους και το θεώρημα του Jackson μπορούμε να δείξουμε ότι αν η f είναι μια συνάρτηση Lipschitz στο [1, 1], το σφάλμα της παρεμβολής σε κόμβους Chebychev τείνει στο 0.
Στο δεύτερο κεφάλαιο, στρέφουμε την προσοχή μας στην Αριθμητική Ολοκλήρωση, συγκεκριμένα σε τύπους εκ παρεμβολής. Αφού αναφέρουμε κάποιες σημαντικές ιδιότητες των τύπων όπως αυτές που αφορούν το βαθμό ακρίβειας και τα βάρη, κάνουμε μια εισαγωγή στους τύπους του Gauss, που έχουν το βέλτιστο βαθμό ακρίβειας ανάμεσα σε όλους τους τύπους εκ παρεμβολής. Αποδεικνύουμε τις ιδιότητες τους σχετικά με το βαθμό ακρίβειας, τη θετικότητα των βαρών και το σφάλμα τους.
Η πρωτότυπη εργασία σε αυτή τη διπλωματική, είναι η παρουσίαση δυο νέων τύπων, που αφορούν το ζευγάρωμα της συνάρτησης βάρους Chebychev 2ου είδους με κόμβους 3ου είδους (τύπος (2, 3)) και 4ου είδους (τύπος (2, 4)). Συσχετίζοντας τους με τους τύπους Gauss-Chebychev 3ου και 4ου είδους και χρησιμοποιώντας τη σχέση μεταξύ κόμβων Chebychev 3ου και 4ου είδους μπορούμε να υπολογίσουμε τα βάρη και το βαθμό ακρίβειας των νέων τύπων. Ακόμα, χρησιμοποιώντας μια τεχνική της Συναρτησιακής Ανάλυσης, θεωρώντας το σφάλμα σαν ένα συναρτησιακό, κάτω από συγκεκριμένες συνθήκες, μπορούμε να υπολογίσουμε τη νόρμα του. Αποδεικνύοντας ότι αυτές οι συνθήκες ικανοποιούνται, μπορούμε να υπολογίσουμε τη νόρμα του σφάλματος στους τύπους (2, 3) και (2, 4).
Τέλος, στρέφουμε την προσοχή μας σε συναρτήσεις με ανωμαλίες. Αποδεικνύοντας κάποια σημαντικά αποτελέσματα, καταλήγουμε ότι οι τύποι μας συγκλίνουν για μια συγκεκριμένη κλάση συναρτήσεων με ανωμαλίες.
Η εργασία ολοκληρώνεται με κάποια αριθμητικά πειράματα, που συγκρίνουν τους νέους τύπους με τον αντίστοιχο τύπο του Gauss και δείχνουν την ποιότητα των φραγμάτων μας σχετικά με τα σφάλματα.
