The Melnikov method and Shilnikov bifurcations

Διπλωματική Εργασία uoadl:2936487 306 Αναγνώσεις

Μονάδα:
Κατεύθυνση Εφαρμοσμένα Μαθηματικά
Βιβλιοθήκη Σχολής Θετικών Επιστημών
Ημερομηνία κατάθεσης:
2021-03-02
Έτος εκπόνησης:
2021
Συγγραφέας:
Χαλού Λούλα
Στοιχεία επιβλεπόντων καθηγητών:
Στρατής Ιωάννης, Καθηγητής, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ
Πρωτότυπος Τίτλος:
The Melnikov method and Shilnikov bifurcations
Γλώσσες εργασίας:
Αγγλικά
Μεταφρασμένος τίτλος:
Η μέθοδος του Melnikov και διακλαδώσεις Shilnikov
Περίληψη:
Ο κύριος στόχος αυτής της εργασίας είναι η συστηματική εισαγωγή στη θεωρία ομοκλινικών διακλαδώσεων σε μη αυτόνομα δυναμικά συστήματα δεύτερης τάξης και αυτόνομα δυναμικά συστήματα στον R^3. Αρχικά, θα γίνει μια εισαγωγή στις ακολουθίες Poincaré, οι οποίες μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την ανίχνευση της υποκείμενης δομής, όπως είναι οι περιοδικές λύσεις που έχουν εξαναγκασμένη ή
υφαρμονική συχνότητα.

Έπειτα, αναφερόμαστε στη μέθοδο του Melnikov και θα αποδείξουμε ότι, εάν η συνάρτηση του Melnikov έχει σημεία μηδενισμού, τότε συμβαίνει ομοκλινικό χάος,
υπό την έννοια των εγκάρσια τεμνόμενων ασταθών και ευσταθών πολλαπλοτήτων.
Στον υπολογισμό της συνάρτησης Melnikov, λαμβάνονται ολοκληρώματα τα οποία υπολογίζονται εφαρμόζοντας το θεώρημα των ολοκληρωτικών υπολοίπων του Cauchy.
Θα εφαρμόσουμε τη μέθοδο Melnikov στο παράδειγμα του διαταραγμένου
συστήματος Duffing.

Στη συνέχεια, θα μελετήσουμε τη θεωρία του Shilnikov, η οποία δίνει κριτήρια για την ύπαρξη ομοκλινικών διακλαδώσεων τύπου σάγματος-εστίας.
Θα εξετάσουμε σημαντικά τρισδιάστατα συστήματα διαφορικών εξισώσεων
που πληρούν τις απαιτήσεις της θεωρίας Shilnikov, όπως το σύστημα Rössler, το σύστημα Lorenz και ο διπλός ελκυστής. Η μελέτη αυτών των συστημάτων συνεπάγεται τον υποβιβασμό τους σε χαμηλότερα διαστατικά διακριτά δυναμικά συστήματα.
Σε αυτές τις περιπτώσεις το διακριτό σύστημα είναι μία απεικόνιση πέταλου,
το οποίο ήταν ένα από τα πρώτα χαοτικά συστήματα που αναλύθηκαν πλήρως.

Επιπρόσθετα, θα δούμε ότι ο διπλασιασμός της περιόδου του ταλαντωτή Duffing προκύπτει από διακλαδώσεις ενός διακριτού συστήματος που αποτελείται από τις πρώτες επαναφορές της απεικόνισης Poincaré και θα εξετάσουμε το απλό μοντέλο της λογιστικής εξίσωσης. Τότε θα επεκτείνουμε τη μέθοδο του εκθέτη Lyapunov σε μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις, όπως η εξίσωση Duffing και οι εξισώσεις Lorenz.

Εν κατακλείδι, θα δούμε ότι υπάρχουν χαρακτηριστικά που αναμένεται να έχει το χάος, όπως είναι ο διπλασιασμός περιόδου, η απεικόνειση πέταλου του Smale, η ευαίσθητη εξάρτηση από τις αρχικές συνθήκες κ.λπ.
Κύρια θεματική κατηγορία:
Θετικές Επιστήμες
Λέξεις-κλειδιά:
Melnikov, Shilnikov, Poincare, Lorenz, Rossler, Duffing, διακλαδώσεις, χάος, ελκυστής, Lyapunov
Ευρετήριο:
Όχι
Αρ. σελίδων ευρετηρίου:
0
Εικονογραφημένη:
Ναι
Αρ. βιβλιογραφικών αναφορών:
22
Αριθμός σελίδων:
134
Αρχείο:
Δεν επιτρέπεται η πρόσβαση στο αρχείο. H πρόσβαση επιτρέπεται μόνο εντός του δικτύου του ΕΚΠΑ.

Melnikov_Loula_Chalou.pdf
7 MB
Δεν επιτρέπεται η πρόσβαση στο αρχείο. H πρόσβαση επιτρέπεται μόνο εντός του δικτύου του ΕΚΠΑ.