Μιγαδικές Δομές επί πολλαπλοτήτων και Εφαρμογές

Διπλωματική Εργασία uoadl:2940496 64 Αναγνώσεις

Μονάδα:
Κατεύθυνση Θεωρητικά Μαθηματικά
Βιβλιοθήκη Σχολής Θετικών Επιστημών
Ημερομηνία κατάθεσης:
2021-04-01
Έτος εκπόνησης:
2021
Συγγραφέας:
Τουμπακάρης Νικόλαος
Στοιχεία επιβλεπόντων καθηγητών:
Λάππας Διονύσιος, Αναπληρωτής Καθηγητής, Τμήμα Μαθηματικών, Σχολή Θετικών Επιστημών
Ανδρουλιδάκης Ιάκωβος, Αναπληρωτής Καθηγητής, Τμήμα Μαθηματικών, Σχολή Θετικών Επιστημών
Γιαννιώτης Παναγιώτης, Επίκουρος Καθηγητής, Τμήμα Μαθηματικών, Σχολή Θετικών Επιστημών
Πρωτότυπος Τίτλος:
Μιγαδικές Δομές επί πολλαπλοτήτων και Εφαρμογές
Γλώσσες εργασίας:
Ελληνικά
Μεταφρασμένος τίτλος:
Μιγαδικές Δομές επί πολλαπλοτήτων και Εφαρμογές
Περίληψη:
Στην παρούσα εργασία θα μελετήσουμε μιγαδικές δομές πάνω σε πολλαπλότητες και θα φτάσουμε μέχρι την ολοκλήρωση των σχεδόν μιγαδικών δομών.
Στο πρώτο κεφάλαιο υπενθυμίζονται βασικές έννοιες των πραγματικών πολλαπλοτήτων, δηλαδή πολλαπλότητες των οποίων οι χάρτες είναι απεικονίσεις σε πραγματικούς διανυσματικούς χώρους, όπως οι διαφορίσιμες καμπύλες, ο εφαπτόμενος χώρος, η εφαπτόμενη δέσμη, η ροή διανυσματικού πεδίου και το διαφορικό. Κατόπιν δίνεται ο ορισμός της πολλαπλότητας Riemann με την αντίστοιχη μετρική της, η ισομετρία σε αυτές τις πολλαπλότητες και η συνοχή Riemann, τονίζοντας τις συνθήκες μοναδικότητας αυτής, η οποία μας επιτρέπει να ορίσουμε διάφορα είδη καμπυλότητας. Στο τέλος του κεφαλαίου δίνονται στοιχεία της άλγεβρας των τανυστών και των διαφορικών μορφών, τα οποία χρειάζονται στην ολοκληρωσιμότητα των πολλαπλοτήτων.
Στο δεύτερο κεφάλαιο ορίζονται οι μιγαδικές πολλαπλότητες και οι δομές επί αυτών και παρατίθενται παραδείγματα πολλαπλοτήτων αυτής της μορφής. Το κεφάλαιο αυτό ξεκινάει με κάποια χαρακτηριστικά από την άλγεβρα των μιγαδικών, όπως ο ενδομορφισμός J με την ιδιότητα J^2 = -1 και η μιγαδοποίηση ενός πραγματικού διανυσματικού χώρου. Εισάγεται η έννοια των ολόμορφων συναρτήσεων, που ικανοποιούν τις εξισώσεις Cauchy - Riemann, η οποία θα χρησιμοποιηθεί στον ορισμό του εφαπτόμενου μιγαδικού χώρου. Έπειτα, δίνεται ο ορισμός των μετρικών σε μιγαδικές πολλαπλότητες, όπως είναι η Ερμιτιανή μετρική και η μετρική Kahler, καταλήγοντας στη καμπυλότητα πολλαπλοτήτων Kahler.
Αντικείμενο του τρίτου κεφαλαίου είναι οι ολόμορφες διανυσματικές δέσμες, με ιδιαίτερη έμφαση στις διανυσματικές δέσμες ευθειών και την ολόμορφη εφαπτόμενη δέσμη. Αναφέρεται το περίφημο θεώρημα εμβύθισης του Kodaira, σύμφωνα με το οποίο, μέσω μιας θετικής δέσμης ευθειών έχουμε ολόμορφη εμβύθιση μιας μιγαδικής πολλαπλότητας σε μιγαδικό προβολικό χώρο.
Το τέταρτο και τελευταίο κεφάλαιο ασχολείται με τη συμπλεκτική θεωρία, όπου δίνεται ο ορισμός των συμπλεκτικών πολλαπλοτήτων. Με αφετηρία τα βασικά στοιχεία της θεωρίας αυτής, συνδέοντας τις συμπλεκτικές με τις σχεδόν μιγαδικές δομές, καταλήγουμε σε δύο περιπτώσεις ολοκλήρωσης μιας σχεδόν μιγαδικής δομής.
Κύρια θεματική κατηγορία:
Θετικές Επιστήμες
Λέξεις-κλειδιά:
Πολλαπλότητες Riemann, Διαφορικές μορφές, Μιγαδικές πολλαπλότητες, Σχεδόν μιγαδική δομή, Ερμιτιανή μετρική, Μετρική Kahler, Ολόμορφες διανυσματικές δέσμες, Συμπλεκτική θεωρία
Ευρετήριο:
Όχι
Αρ. σελίδων ευρετηρίου:
0
Εικονογραφημένη:
Όχι
Αρ. βιβλιογραφικών αναφορών:
10
Αριθμός σελίδων:
133

toumpakaris-thesis.pdf
772 KB
Δεν επιτρέπεται η πρόσβαση στο αρχείο. H πρόσβαση επιτρέπεται μόνο εντός του δικτύου του ΕΚΠΑ.