Λογισμός Malliavin και το θεώρημα Hörmander

Διπλωματική Εργασία uoadl:2944021 77 Αναγνώσεις

Μονάδα:
Κατεύθυνση Θεωρητικά Μαθηματικά
Βιβλιοθήκη Σχολής Θετικών Επιστημών
Ημερομηνία κατάθεσης:
2021-04-26
Έτος εκπόνησης:
2021
Συγγραφέας:
Ντέτσικας Κωνσταντίνος
Στοιχεία επιβλεπόντων καθηγητών:
Δημήτρης Χελιώτης, Αναπληρωτής Καθηγητής, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ
Μιχαήλ Λουλάκης, Αναπληρωτής Καθηγητής, ΣΕΜΦΕ, ΕΜΠ
Αθανάσιος Γιαννακόπουλος, Καθηγητής, Τμήμα Στατιστικής, ΟΠΑ
Πρωτότυπος Τίτλος:
Λογισμός Malliavin και το θεώρημα Hörmander
Γλώσσες εργασίας:
Ελληνικά
Μεταφρασμένος τίτλος:
Λογισμός Malliavin και το θεώρημα Hörmander
Περίληψη:
Σε αυτή τη διπλωματική εργασία παρουσιάζουμε τα βασικά στοιχεία του λεγόμενου στοχαστικού λογισμού μεταβολών, ή λογισμού Malliavin, που ξεκίνησε στα τέλη της δεκαετίας του 70 από τον Paul Malliavin, ο οποίος είχε σκοπό να προσεγγίσει με πιθανοθεωρητικό τρόπο το θεώρημα του Hörmander για την υποελλειπτικότητα διαφορικών τελεστών δεύτερης τάξης.
Ξεκινάμε με τις ιδιότητες των αφηρημένων χώρων Wiener, καθώς και του αντίστοιχου χώρου Cameron-Martin και εξάγουμε μία σχέση ολοκλήρωσης κατά μέρη σε αφηρημένους χώρους Wiener.
Στη συνέχεια, αναπτύσσουμε τα βασικά στοιχεία του λογισμού Malliavin, ορίζουμε κατάλληλους χώρους Sobolev και αποδεικνύουμε τον τύπο των Clark-Ocone.
΄Έπειτα, μελετάμε την ομαλότητα κατανομών κατάλληλων τυχαίων μεταβλητών. Εφαρμόζουμε αυτά τα αποτελέσματα ομαλότητας σε στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις, όπου δείχνουμε ένα πιθανοθεωρητικό ανάλογο του θεωρήματος ελλειπτικής ομαλότητας, καθώς και ένα θεώρημα ομαλότητας κάτω από τη συνθήκη του Hörmander.
Στο υπόλοιπο της εργασίας στρέφουμε την προσοχή μας σε κανονικές προσεγγίζεις και πιο ειδικά στη σύνδεση μεταξύ της μεθόδου του Stein για κανονικές προσεγγίσεις και του λογισμού Malliavin.
Χρησιμοποιούμε αυτή τη σύνδεση για να αποδείξουμε το θεώρημα τέταρτης ροπής των Nualart και Peccati καθώς και για κάποιες επεκτάσεις του. Τέλος, εκμεταλλευόμαστε αυτά τα θεωρήματα τέταρτης ροπής για να δώσουμε μία σύντομη απόδειξη του θεωρήματος Breuer-Major.
Κύρια θεματική κατηγορία:
Θετικές Επιστήμες
Λέξεις-κλειδιά:
Λογισμός Malliavin, Θεώρημα Hörmander, Θεώρημα τέταρτης ροπής
Ευρετήριο:
Όχι
Αρ. σελίδων ευρετηρίου:
0
Εικονογραφημένη:
Όχι
Αρ. βιβλιογραφικών αναφορών:
65
Αριθμός σελίδων:
136
Msc-thesis Ntetsikas.pdf (1 MB) Άνοιγμα σε νέο παράθυρο