Μονάδα:
Κατεύθυνση Θεωρητικά ΜαθηματικάΒιβλιοθήκη Σχολής Θετικών Επιστημών
Ημερομηνία κατάθεσης:
2021-08-14
Συγγραφέας:
Πάτσαλος Κωνσταντίνος
Στοιχεία επιβλεπόντων καθηγητών:
Απόστολος Γιαννόπουλος, καθηγητής, τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ
Πρωτότυπος Τίτλος:
Διάφορες προσεγγίσεις στην εικασία του υπερεπιπέδου για τον όγκο των τομών κυρτών σωμάτων
Γλώσσες εργασίας:
Ελληνικά
Μεταφρασμένος τίτλος:
Διάφορες προσεγγίσεις στην εικασία του υπερεπιπέδου για τον όγκο των τομών κυρτών σωμάτων
Περίληψη:
Η εικασία του υπερεπιπέδου αποτελεί ένα ανοικτό πρόβλημα στην ασυμπτωτική κυρτή γεωμετρία. Ρωτάει αν υπάρχει ένα ομοιόμορφο κάτω φράγμα (ανεξάρτητο της διάστασης του χώρου) για τον όγκο που μπορεί να έχει η τομή ενός κυρτού σώματος Κ όγκου 1 με ένα υπερεπίπεδο που να διέρχεται από το κέντρο βάρους του Κ αν το υπερεπίπεδο ληφθεί έτσι ώστε να μεγιστοποιεί τον όγκο αυτό. Στην παρούσα εργασία, αφού παρουσιάσουμε το απαιτούμενο υπόβαθρο από την ασυμπτωτική κυρτή γεωμετρία, αποδεικνύουμε την ισοδυναμία της εικασίας του υπερεπιπέδου με την εικασία της ισοτροπικής σταθεράς, σύμφωνα με την οποία υπάρχει ένα ομοιόμορφο άνω φράγμα για τις ισοτροπικές σταθερές όλων των κυρτών σωμάτων.
Από τις μέχρι τώρα προσεγγίσεις αναφερόμαστε αρχικά στο άνω φράγμα του Bourgain για τις ισοτροπικές σταθερές. Παρουσιάζουμε, συγκεκριμένα, τη μεταγενέστερη απόδειξη του Dar. Εν συνεχεία, γενικεύουμε την εικασία σε λογαριθμικά κοίλα μέτρα και αποδεικνύουμε την αναγωγή της γενίκευσης αυτής στην αρχική εικασία. Με τη βοήθεια της ανισότητας απόκλισης του Παούρη, λύνουμε την “ισομορφική εικασία του υπερεπιπέδου” και αποδεικνύουμε το άνω φράγμα του Klartag για τις ισοτροπικές σταθερές. Η εικασία ανάγεται επίσης στη μελέτη της ακτίνας όγκου των κεντροειδών σωμάτων.
Εστιάζουμε κατόπιν σε μία εναλλακτική απόδειξη του άνω φράγματος του Klartag μέσω μίας παραλλαγής της ισομορφικής εικασίας της οποίας η απόδειξη βασίζεται σε κυρτούς κώνους n+1 διαστάσεων. Τέλος, παρουσιάζουμε το καλύτερο μέχρι στιγμής άνω φράγμα, το οποίο οφείλεται στον Y.Chen και επιτυγχάνεται με στοχαστικές μεθόδους.
Κύρια θεματική κατηγορία:
Θετικές Επιστήμες
Λέξεις-κλειδιά:
Υπερεπίπεδο, όγκος, ισοτροπική σταθερά, κυρτό σώμα, λογαριθμικά κοίλο μέτρο, κεντροειδές σώμα, κυρτός κώνος
Αρ. σελίδων ευρετηρίου:
0
Αρ. βιβλιογραφικών αναφορών:
27
