Περίληψη:
Σκοπός της παρούσας μεταπτυχιακής εργασίας είναι η παρουσίαση κάποιων εργαλείων που είναι θεμελιώδη για τη σύγχρονη Αλγεβρική Γεωμετρία. Συγκεκριμένα θα ασχοληθούμε με τα σχεδόν-συναφή και τα συναφή δεμάτια, με τη συνομολογία δεματιών που μας δίνουν και με την étale συνομολογία.\par
Αρχικά διευκρινίζουμε ότι θεωρούμε γνωστές τις έννοιες των δεματιών (στα αγγλικά sheaves), των σχημάτων (schemes), των μορφισμών τους και γενικά όλων των βασικών ιδιοτήτων τους, όπως αυτές παρουσιάζονται για παράδειγμα στο \cite{Ueno1}.\par
Σημειώνουμε ότι έγινε προσπάθεια απόδοσης των ξενόγλωσσων όρων στα ελληνικά χρησιμοποιώντας όσο το δυνατόν λιγότερο εξεζητημένες λέξεις. Παρόλα αυτά, η λέξη «étale» είναι επίθετο (στα γαλλικά) και αναφέρεται στη θάλασσα όταν αυτή είναι ήρεμη μεταξύ των δύο σταδίων του φαινομένου της παλίρροιας (πλημμυρίδας και άμπωτης). Η ελληνική λέξη γι' αυτό το φαινόμενο είναι παλιρροιοστάσιο, ωστόσο δεν υπάρχει κάποιο επίθετο στα ελληνικά που να χαρακτηρίζει κατά αντίστοιχο τρόπο τη θάλασσα, έτσι χρησιμοποιούμε τη γαλλική λέξη αυτούσια ως επιθετικό προσδιορισμό. Επίσης, η πιο άμεση μετάφραση της λέξης «site», είναι η λέξη «τόπος», ωστόσο υπάρχει μια συγγενής έννοια που ονομάζεται στα αγγλικά «topos», οπότε για την αποφυγή σύγχυσης αποφασίσαμε να αφήσουμε τον όρο site αμετάφραστο και να τον χρησιμοποιούμε ως ουσιαστικό.\par
Βασικό εργαλείο για την ανάπτυξη της θεωρίας συνομολογίας δεματιών είναι τα συναφή δεμάτια (στα αγγλικά ο όρος είναι coherent sheaves, η πιο άμεση μετάφραση αυτού είναι η λέξη συνεκτικά δεμάτια, ωστόσο στα ελληνικά ο όρος συνεκτικό χρησιμοποιείται εκεί που στα αγγλικά λέμε connected). Αυτά θα εισαγάγουμε στο πρώτο κεφάλαιο της εργασίας. Ξεκινάμε δίνοντας ορισμούς για τον πυρήνα, την εικόνα και τον συμπυρήνα μιας απεικόνισης δεματιών, κι άρα κι έναν ορισμό για το τι σημαίνει ακριβής ακολουθία δεματιών (αποδεικνύοντας και τις σχετικές βασικές ιδιότητες). Μετά ορίζουμε τα $\mathcal{O}_X$-πρότυπα, και τα σχεδόν-συναφή και συναφή δεμάτια (που είναι τέτοια $\mathcal{O}_X$-πρότυπα). Βασικοί συναρτητές στη θεωρία δεματιών είναι η ευθεία και αντίστροφη εικόνα δεματιών, κι αυτοί είναι το αντικείμενο μελέτης της τρίτης παραγράφου του πρώτου κεφαλαίου. Εκεί γίνεται αισθητή η σημασία των σχεδόν-συναφών και συναφών δεματιών ώστε αυτοί οι συναρτητές να συμπεριφέρονται με επιθυμητό τρόπο. Στο τέλος του κεφαλαίου, έχουμε κάποιες εφαρμογές των σχεδόν-συναφών δεματιών στον ορισμό εννοιών όπως τα κλειστά υποσχήματα και στον χαρακτηρισμό των αφινικών μορφισμών πάνω από ένα δοσμένο σχήμα.\par
Ένας βασικός λόγος για τον οποίο μας ενδιαφέρουν τα συναφή και τα σχεδόν-συναφή δεμάτια, είναι ότι αυτά έχουν τις κατάλληλες ιδιότητες για την ανάπτυξη μιας «καλής» συνομολογίας δεματιών για τα σχήματα. Αυτήν παρουσιάζουμε στο δεύτερο κεφάλαιο. Πρώτα αναπτύσσουμε μια αφηρημένη θεωρία συνομολογίας δεματιών, που προκύπτει από αυτό που αποκαλούμε μεστή ανάλυση (στα αγγλικά flabby resolution - η μετάφραση του όρου «flabby» σε «μεστό» είναι ομολογουμένως λίγο πιο «ελεύθερη») ενός δεματιού. Στη συνέχεια αναφέρουμε μια δεύτερη θεωρία συνομολογίας δεματιών που ορίζεται με συνδυαστικό τρόπο, τη συνομολογία Čech, η οποία συνήθως προσφέρεται περισσότερο για υπολογισμούς. Βασική προϋπόθεση για να πάρουμε τις ίδιες ομάδες συνομολογίας από τις δύο αυτές προσεγγίσεις είναι να δουλεύουμε με σχεδόν-συναφή ή συναφή δεμάτια.\par
Στο δεύτερο μέρος της εργασίας σκοπός μας είναι η ανάπτυξη της étale συνομολογίας και γι' αυτό χρειάζεται αρκετή δουλειά ώστε να εισαχθούν οι διάφορες νέες έννοιες και τεχνικές. Πρώτα μιλάμε για étale μορφισμούς εξηγώντας ποια είναι η γεωμετρική ιδέα πίσω από αυτούς. Σε αυτήν την παράγραφο αρκετές τεχνικές λεπτομέρειες που έχουν να κάνουν με τη σχετική Αντιμεταθετική Άλγεβρα (θα μπορούσαμε να πούμε ότι αυτή είναι ο αντίστοιχος Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός για την Αλγεβρική Γεωμετρία) δεν αναπτύσσονται, αλλά δίνουμε κατάλληλες παραπομπές για τον ενδιαφερόμενο αναγνώστη. Στη συνέχεια αναφέρουμε την καινοτόμα ιδέα του Grothendieck: Στην αναζήτησή του για μια κατάλληλη θεωρία συνομολογίας που θα του έδινε το κατάλληλο πρίσμα υπό το οποίο οι περίφημες εικασίες του Weil θα προέκυπταν ως ασκήσεις, σκέφτηκε ότι αντί για κάποια καινούργια συνδυαστική ιδέα ή αντί για κάποιο καινούργιο αλγεβρικό αντικείμενο, χρειαζόταν μια καινούργια και βασικά γενικότερη έννοια τοπολογίας. Αυτή η ιδέα προέκυψε κι από το γεγονός ότι η τοπολογία Zariski, που είναι η τοπολογία με την οποία εργαζόμαστε συνήθως πάνω από τις προβολικές πολλαπλότητες και τα σχήματα, υστερεί σε κάποια θεμελιώδη ζητήματα όταν συγκρίνεται με τη συνήθη τοπολογία του μιγαδικού χώρου - για παράδειγμα δεν ισχύει το Θεώρημα Αντίστροφης Απεικόνισης και δεν παίρνουμε μια ενδιαφέρουσα θεωρία συνομολογίας με σταθερούς συντελεστές πάνω από ανάγωγες πολλαπλότητες.\par
Αυτή η νέα έννοια τοπολογίας, που εκφράζεται με τη γλώσσα των sites και συγκεκριμένα στην δική μας μελέτη μέσα από το étale site της πολλαπλότητας που μας ενδιαφέρει, δίνει μια νέα θεωρία δεματιών η οποία έχει φυσικά πολλές ομοιότητες με τη συνήθη αλλά και κάποιες ουσιαστικές διαφορές. Στην ανάπτυξη αυτής της θεωρίας δεματιών αφιερώνουμε τέσσερις παραγράφους από το τρίτο κεφάλαιο. Σε αυτές ενώ φαίνεται να επαναλαμβάνουμε όσα κάναμε στη συνήθη θεωρία δεματιών, γίνεται γρήγορα αντιληπτή η τεχνική διαφορά και η ανάγκη για μια πιο αφηρημένη προσέγγιση, κάνοντας περισσότερη χρήση της γλώσσας της Θεωρίας Κατηγοριών (κάτι που στη συνήθη περίπτωση είναι απλά προαιρετικό). Στο τέλος του κεφαλαίου είμαστε σε θέση να επαναλάβουμε τις κατασκευές συνομολογιών δεματιών, αυτή τη φορά όμως πάνω στο étale site μιας πολλαπλότητας, κι όχι στην τοπολογία Zariski, κι αυτό κάνει όλη τη διαφορά (ένα παράδειγμα αυτής της διαφοράς είναι ότι για να ταυτίζονται οι ομάδες συνομολογίας παραγόμενων συναρτητών με αυτές της συνομολογίας Čech, δεν χρειάζεται να έχουμε σχεδόν-συναφή ή συναφή δεμάτια).\par
Το τελευταίο κεφάλαιο είναι αφιερωμένο στη διατύπωση και την αδρή περιγραφή των αποδείξεων των εικασιών του Weil. Για την ακρίβεια για την τελευταία και δυσκολότερη από τις εικασίες δεν δίνουμε κάποια περιγραφή της απόδειξης, αλλά αυτή η παράλειψη δικαιολογείται κι απ' το ότι η απόδειξη ξεφεύγει αρκετά από το να είναι «απλή εφαρμογή» αποτελεσμάτων σχετικών με την étale συνομολογία. Ορίζουμε την $\ell$-αδική συνομολογία, μέσω της étale συνομολογίας, και καταγράφουμε κάποιες από τις ιδιότητές της, οι οποίες χρησιμοποιούνται στην απόδειξη των εικασιών του Weil. Η $\ell$-αδική συνομολογία είναι αυτή που εντέλει έδωσε τις «σωστές» ομάδες συνομολογίας με σταθερούς συντελεστές, κατ' αναλογία με την ιδιόμορφη συνομολογία (στα αγγλικά singular cohomology) που συναντάμε στην Αλγεβρική Τοπολογία. Οι αποδείξεις των ιδιοτήτων που αναφέρουμε δεν είναι κάτι που ρεαλιστικά θα μπορούσαμε να συμπεριλάβουμε στην εργασία καθώς οι περισσότερες από αυτές είναι αρκετά «βαθιά» αποτελέσματα της θεωρίας, οπότε τις παραλείψαμε (μια αρκετά λεπτομερής παρουσίασή τους υπάρχει στις κλασικές σημειώσεις του Milne \cite{MilneEC}). Τέλος, αυτό που επιχειρούμε είναι να δείξουμε με ποιον τρόπο συνδυάζονται όλες αυτές οι ιδιότητες και εντέλει δίνουν τα επιθυμητά αποτελέσματα.\par
Λέξεις-κλειδιά:
αλγεβρική γεωμετρία, συνομολογία δεματιών, etale συνομολογία, εικασίες Weil
