Μονάδα:
Κατεύθυνση Θεωρητικά ΜαθηματικάΒιβλιοθήκη Σχολής Θετικών Επιστημών
Ημερομηνία κατάθεσης:
2023-09-01
Συγγραφέας:
Τζαναδάμη Μαρία
Στοιχεία επιβλεπόντων καθηγητών:
1. Επιβλέπων: Παντελεήμων Δοδός - Ντοντός, Αναπληρωτής Καθηγητής, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ,
2. Κωνσταντίνος Τύρος, Αναπληρωτής Καθηγητής, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ,
3. Δημήτρης Χελιώτης, Αναπληρωτής Καθηγητής, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ
Πρωτότυπος Τίτλος:
APPLICATIONS OF COMBINATORIES IN FUNCTIONAL THEORY: ROSENTHAL'S THEOREM
Γλώσσες εργασίας:
Αγγλικά
Μεταφρασμένος τίτλος:
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΗΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ: ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ROSENTHAL
Περίληψη:
Η παρούσα διπλωματική εργασία έχει ως στόχο να αναδείξει την σύνδεση μεταξύ των αποτελεσμάτων και των εννοιών της Συνδυαστικής και της Περιγραφικής Θεωρίας Συνόλων στον κλάδο της Συναρτησιακής Ανάλυσης. Η Περιγραφική Θεωρία Συνόλων ορίζεται ως ο τομέας μελέτης των αποκαλούμενων “ορίσιμων” υποσυνόλων των Πολωνικών τοπολογικών χώρων, δηλ. υποσύνολα τα οποία ορίζονται ρητά από πρωταρχικά βασικά σύνολα (τα ανοιχτά σύνολα) μέσω απλών συνολοθεωρητικών πράξεων όπως συμπληρωματα, αριθμήσιμες ενώσεις και προβολές, και αποτελεί έναν από τους βασικότερους τομείς μελέτης της Θεωρίας Συνόλων.
Ο κύριος στόχος της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η απόδειξη του θεωρήματος του Rosenthal, ενός από τα σημαντικότερα αποτελέσματα για την γεωμετρία των χώρων Banach, που παρέχει μια αναγκαία και ικανή συνθήκη για την ύπαρξη ασθενώς Cauchy υπακολουθίας για κάθε φραγμένη ακολουθία ενός χώρου Banach Χ. Η αναγκαία συνθήκη σχετίζεται με την γεωμετρία του χώρου και απαιτεί να μην ορίζεται εμφύτευση ενός ισομορφικού αντιγράφου του l^{1} στον χώρο Χ.
Ειδικότερα, λαμβάνοντας ως αφετηρία το αποτέλεσμα των Eberlein-Smulian, υποδεικνύεται ότι η ύπαρξη μια ασθενώς συγκλίνουσας υπακολουθίας για κάθε φραγμενη ακολουθία του Χ, προυποθέτει ως αναγκαία και ικανή συνθήκη ο Χ να είναι αυτοσυζυγής. Περιορίζοντας την απαίτησή μας στην ύπαρξη ασθενώς Cauchy υπακολουθίας, το ενδιαφέρον εστιάζεται στην εξέταση των μη αυτοσυζυγών χώρων Banach, καθώς το παραπάνω αποτέλεσμα παρέχει ήδη μια κατεύθυνση για τους αυτοσυζυγείς χώρους. Συγκεκριμένα, θεωρώντας έναν διαχωρίσιμο χώρο Banach X και υποθέτωντας ότι ο X^{*} είναι επίσης διαχωρίσιμος, οι φραγμένες ακολουθίες στον Χ έχουν ασθενώς Cauchy υπακολουθίες. Το αποτέλεσμα αυτό είναι εύκολο να αποδειχθεί θεωρώντας (d_{n}) μια πυκνή ακολουθία στην μοναδιαία μπάλα του X^{*} και λαμβάνοντας την εικόνα μιας φραγμένης ακολουθίας (x_{n}) στο X μέσω αυτών.Ειδικότερα για το d_{1} η ακολουθία (d_{1}x_{n}) είναι φραγμένη στους πραγματικούς \mathbb{R}, συνεπώς έχει συγκλίνουσα υπακολουθία, έστω (d_{1}x_{n}^{1}). Στην συνέχεια εφαρμόζοντας τον τελεστή d_{2} στην υπακολουθία (x_{n}^{1}) και διαδοχικά με την εφαρμογή του ίδιου επιχειρήματος οδηγούμαστε στον ορισμό μιας φραγμένης υπακολουθίας της (x_{n}) με την ζητούμενη ιδιότητα. Ωστόσο αυτό δεν είναι πάντοτε εφικτό. Για παράδειγμα αν θεωρήσουμε την ακολουθία (e_{n}) όπου e_{n} το μοναδιαίο απειροδιαστατο διάνυσμα του χώρου l^{1} με μονάδα στην n-ιοστή θέση, τότε η (e_{n}) δεν έχει καμία ασθενώς Cauchy υπακολουθία.
Ο Rosenthal απέδειξε ότι το παραπάνω αντιπαράδειγμα είναι στην πραγματικότητα και το μοναδικό. Ωστόσο το πιο ενδιαφέρον στο συγκεκριμένο αποτέλεσμα είναι το γεγονός ότι η απόδειξη του Θεωρήματος του Rosenthal βασίζεται σε εφαρμογή συνδυαστικών αποτελεσμάτων που αποτελούν επεκτάσεις ενός εκ των ακρογωνιαίων αξιωμάτων της Συνδυαστικής Θεωρίας, γνωστό ως Αρχή της Περιστεροφωλιάς.
Η παρούσα εργασία συνίσταται σε τρία μέρη, στα οποία γίνεται εισαγωγή στις βασικές έννοιες και αποτελέσματα των κλάδων που εφαρμόζονται συνδυαστικά όπως αναφέρθηκαν ανωτέρω, τα οποία μας επιτρέπουν την απόδειξη του κύριου θεωρήματος στο τελευταίο κεφάλαιο.
Ειδικότερα, στο Μέρος Ι γίνεται σύντομη παρουσίαση ενός από τα βασικότερα δομικά εργαλεία της Περιγραφικής Θεωρίας Συνόλων, των “δέντρων”, τα οποία χρησιμοποιούνται σε κατασκευαστικές αποδείξεις στα επόμενα κεφάλαια. Στο Μέρος ΙΙ συνοψίζουμε τα βασικά αποτελέσματα και δομές των Πολωνικών χώρων και των χώρων Baire, τονίζοντας την ομοιομορφική συμπεριφορά των υποσυνόλων τους με χαρακτηριστικούς χώρους, όπως οι χώροι Cantor \mathcal{C} και Baire \mathcal{N}. Τέλος, το Μέρος III εστιάζει στην διατύπωση των συνδυαστικών Διαχωριστικών Θεωρημάτων και των επεκτάσεων αυτών στην εξέταση των διαμερίσεων των Πολωνικών χώρων σε “ορίσιμα” υποσύνολα καθώς και των διαμερίσεων του [\mathbb{N}]^{\aleph}. Το Θεώρημα του Rosenthal αποτελεί εφαρμογή των προαναφερθέντων Διαχωριστικών Θεωρημάτων και παρατίθεται ως καταληκτικό αποτέλεσμα της παρούσας διπλωματικής εργασίας.
Κύρια θεματική κατηγορία:
Θετικές Επιστήμες
Λέξεις-κλειδιά:
Θεώρημα Rosenthal,Συνδυαστική, Περιγραφική Θεωρία Συνόλων, Συναρτησιακή Ανάλυση, Αρχή του Περιστερώνα,Cantor, Θεώρημα Ramsey, Ellentuck τοπολογία, Πολωνικοί Χώροι
Αρ. σελίδων ευρετηρίου:
1
Αρ. βιβλιογραφικών αναφορών:
8
Αρχείο:
Δεν επιτρέπεται η πρόσβαση στο αρχείο. H πρόσβαση επιτρέπεται μόνο εντός του δικτύου του ΕΚΠΑ.
Master Thesis_Rosenthal Theorem_Maria Tzanadami.pdf
21 MB
Δεν επιτρέπεται η πρόσβαση στο αρχείο. H πρόσβαση επιτρέπεται μόνο εντός του δικτύου του ΕΚΠΑ.
