Περίληψη:
Στην παρούσα εργασία γίνεται ανασκόπηση του κατά Hamilton φορμαλισμού της
βαρύτητας στην πλήρη βαρύτητα και σε κοσμολογίες προτύπων Bianchi. Ο
Λαγκρανζιανός φορμαλισμός μας επιτρέπει να λύσουμε ως προς της γενικευμένες
επιταχύνσεις όταν η ορίζουσα του πίνακα του Hess είναι μη μηδενική, οπότε και
το σύστημα καλείται regular. Στην περίπτωση όμως που η ορίζουσα αυτή είναι
μηδέν τότε δεν μπορούμε να λύσουμε προς όλες τις επιταχύνσεις, αλλά μόνο ως
προς κάποιες από αυτές. Τότε τα συστήματα αυτά καλούνται ‘Singular Lagrangian
systems’ ή ‘Constrained Hamiltonian Systems’ ή και ‘Degenerate Systems’. Ο
χειρισμός τέτοιων συστημάτων είναι το αντικείμενο συζήτησης του πρώτου
κεφαλαίου, ενώ σκιαγραφείται και η διαδικασία κβάντωσής τους σύμφωνα με την
πρόταση του Dirac.
Η κβάντωση της γενικής θεωρίας της σχετικότητας είναι μια περίπλοκη και δύσκολη
διαδικασία, σε σημείο που μέχρι σήμερα δεν έχει βρεθεί απολύτως ικανοποιητικός
τρόπος χειρισμού της κβαντικής βαρύτητας. Προκειμένου να αποκτήσουμε τις
κατάλληλες γνώσεις και διαίσθηση, που χρειαζόμαστε για να αντιμετωπίσουμε το
πλήρες πρόβλημα, είναι λογικό να κάνουμε κάποιες απλοποιήσεις παρακάμπτοντας
μερικές από τις δυσκολίες που συναντάμε. Το πιο λογικό και κομψό είναι να
επιβάλουμε στο πρόβλημά μας συμμετρίες και με τον τρόπο αυτό να πάρουμε ειδικές
λύσεις για το πρόβλημα που δεν μπορούμε να λύσουμε πλήρως. Κάνοντας την υπόθεση
ότι ο τετραδιάστατος χώρος φυλλοποιείται από ομογενείς τρισδιάστατους χώρους,
(manifolds) σταθερού χρόνου, καταλήγουμε στα 9 πρότυπα Bianchi.
Στη συνέχεια προσδιορίζουμε τις χρονικά εξαρτώμενες αμφιδιαφορίσεις που οδηγούν
σε μετασχηματισμούς του γ_αβ μέσω πινάκων που είναι αυτομορφισμοί της άλγεβρας
Lie που ορίζουν οι σταθερές δομής των προτύπων Bianchi. Με τον τρόπο αυτό μας
δίνεται η δυνατότητα να απλοποιήσουμε τη μορφή του στοιχείου γραμμής και
επομένως τις εξισώσεις Einstein χωρίς να χάνεται η γενικότητα τους. Με αυτό τον
τρόπο, σε όλα τα πρότυπα Bianchi εμφανίζονται τέσσερις αυθαίρετες συναρτήσεις
του χρόνου στην γενική λύση για το σύνολο των εξισώσεων του Einstein και αυτό
μας δίνει την ελευθερία να μπορούμε πάντοτε να θέτουμε το διάνυσμα μετατόπισης
Ν_α ίσο με το μηδέν (πιθανώς με τίμημα κάποιο πιο πεπλεγμένου γ_αβ ).
Το επόμενο βήμα είναι να ακολουθήσουμε την κανονική ανάλυση της βαρύτητας για
κοσμολογίες τύπου Bianchi. Εδώ θα δούμε ότι τα πρότυπα Bianchi χωρίζονται σε
Class A (Cττρ=0) και Class B (Cττρ=/0) . Η εφαρμογή του αλγόριθμου
Dirac-Bergmann οδηγεί σε μια κλειστή άλγεβρα μόνο για τα Class A μοντέλα. Στα
Class B εμφανίζονται περαιτέρω σύνδεσμοι χωρίς αντιστοιχία με τις εξισώσεις
πεδίου του Einstein, αναδεικνύοντας δηλαδή την αδυναμία μας να γράψουμε μια
έγκυρη Hamiltonian για τα Class B μοντέλα.
Τέλος στο τρίτο κεφάλαιο θα ασχοληθούμε με το πρότυπο Bianchi III. Όπως θα
δούμε παρά το γεγονός ότι το πρότυπο αυτό είναι Bianchi type class B με
συγκεκριμένες παραδοχές μπορούμε να γράψουμε για το μοντέλο αυτό έγκυρη
χαμιλτονή. Στη συνέχεια προχωράμε στην κβάντωση του σύμφωνα με την πρόταση του
Dirac και λύνουμε την εξίσωση Wheeler DeWitt που προκύπτει.
