Η ροή Ricci και εφαρμογές

Διπλωματική Εργασία uoadl:1317841 427 Αναγνώσεις

Μονάδα:
Κατεύθυνση Θεωρητικά Μαθηματικά
Βιβλιοθήκη Σχολής Θετικών Επιστημών
Ημερομηνία κατάθεσης:
2011-12-21
Έτος εκπόνησης:
2011
Συγγραφέας:
Δελής Αναστάσιος
Στοιχεία επιβλεπόντων καθηγητών:
Μελάς Αντώνιος Καθηγ.(Επιβλέπων), Λάππας Διονύσιος Αναπλ. Καθηγ., Τσαρπαλιάς Αθανάσιος Καθηγ.
Πρωτότυπος Τίτλος:
Η ροή Ricci και εφαρμογές
Γλώσσες εργασίας:
Ελληνικά
Περίληψη:
Αντικείμενο της εργασίας είναι η παρουσίαση των αποτελεσμάτων και των
τεχνικών που χρησιμοποιήθηκαν από τον Richard Hamilton στην ρηξικέλευθη
εργασία του: “Three - manifolds with positive Ricci curvature”, ώστε να απο-
δείξει το εξής θεώρημα:
Θεώρημα 0.0.1. Έστω ( μία κλειστή πολλαπλότητα διάστασης 3, η οποία δέχεται
μετρική Riemann γνήσια θετικής καμπυλότητας Ricci. Τότε η Μ δέχεται και μετρική
σταθερής θετικής καμπυλότητας.
Ιδιαίτερα, η προσπάθεια είναι να περιγραφεί το βασικό νέο εργαλείο το
οποίο εισήγαγε, η ροή Ricci.
Στο πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζεται συνοπτικά η προαπαιτούμενη για την
κατανόηση όσων θα ακολουθήσουν θεωρία των διαφορικών πολλαπλοτήτων και της
γεωμετρίας Riemann. Το κεφάλαιο 2 είναι μία συνοπτική επισκόπηση της ιστορίας
της εικασίας του Poincare και της γενικότερης του Thurston, της οποίας η πρώτη
απο-τελεί ειδική περίπτωση. Στόχος είναι αφενός να αναδειχθεί η σημασία της
ροής Ricci ως το εργαλείο με τη βοήθεια του οποίου ο Hamilton μετέφερε ένα
τοπολογικό-γεωμετρικό πρόβλημα στην περιοχή των διαφορικών εξισώσεων και
αφετέρου να καταγραφούν τα βήματα που έκανε ο ίδιος προς την επίλυση της
εικασίας του Thurston, καθώς και τα αντίστοιχα του Grigori Perelman ο οποίος
ξεπέρασε τα εμπόδια που δεν κατάφερε ο Hamilton και ολοκλήρωσε την απόδειξη.
Τα τελευταία τρία κεφάλαια αποτελούν το κυρίως μέρος της εργασίας
στο οποίο στόχος είναι η πλήρης παρουσίαση της απόδειξης του θεωρήματος
(0.0.1). Στο τρίτο κεφάλαιο εισάγεται η έννοια της μονοπαραμετρικής οικογένειας
πολλαπλοτήτων (ροή) και δίνονται ορισμένα παραδείγματα με κεντρικό αυτό της
ροής Ricci. Το επόμενο κεφάλαιο αφορά την αρχή του μεγίστου, η οποία αποτελεί
το βασικό αποδεικτικό εργαλείο του Hamilton στα αποτελέσματα που θα
ακολουθήσουν. Δίνονται αρκετές ειδικές περιπτώσεις, με πιό σημαντικές για τη
συνέχεια εκείνες που αφορούν απεικονίσεις μεταξύ διανυσματικών δεσμών. Τέλος,
στο κεφάλαιο πέντε παρουσιάζονται οι αποδείξεις όλων των ενδιάμεσων
αποτελεσμάτων που οδηγούν τελικά στην απόδειξη του θεωρήματος (0.0.1).
Λέξεις-κλειδιά:
Ροή Ricci, Εικασία Poincare, Εικασία γεωμετρικοποίησης
Ευρετήριο:
Όχι
Αρ. σελίδων ευρετηρίου:
0
Εικονογραφημένη:
Όχι
Αρ. βιβλιογραφικών αναφορών:
31
Αριθμός σελίδων:
124