Περίληψη:
Η συγκεκριμένη διπλωματική εργασία ειδίκευσης στα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά,
ουσιαστικά αποτελείται από δύο μέρη. Στα πρώτα τέσσερα κεφάλαια αναπτύσσουμε τη
γενική θεωρία των ισχυρώς συνεχών ημιομάδων φραγμένων γραμμικών τελεστών, με
έμφαση στα θεωρήματα αναπαράστασης και παραγωγής, ιδιαιτέρως αυτά που
οφείλονται στους Hille-Yosida, Feller-Miyadera-Phillips, Lumer-Phillips και
Stone. Αρκετές κλάσεις ημιομάδων παρουσιάζονται διεξοδικά, συμπεριλαμβανομένης
της ημιομάδας Gauss η οποία είναι πολύ σημαντική για τους στόχους της εργασίας
μας.
Στα εναπομείναντα τρία κεφάλαια, διερευνούμε το πρόβλημα της φασματικής
ανεξαρτησίας τελεστών που δρουν ταυτόχρονα σε διαφορετικούς χώρους Lp και
εμφανίζονται στην πράξη ως γεννήτορες ισχυρώς συνεχών ημιομάδων. Χρησιμοποιούμε
εργαλεία όπως συμπάγεια, εκτιμήσεις Gauss και εκτιμήσεις μεταθετών, τα οποία
έχουν παρουσιαστεί σε βιβλία και άρθρα από τους E.B. Davies, W. Arendt, P.C.
Kunstmann, M. Hieber και E. Schroche. Το κεντρικό αποτέλεσμα μπορεί να
διατυπωθεί ως εξής: Δοθέντων ενός ανοικτού υποσυνόλου Ω του Ευκλείδιου χώρου
IRn και μιας οικογένειας Tp συνεπών ημιομάδων επί του Lp(Ω), ανεξαρτησία από
τον αριθμό p[1,+) του φάσματος του γεννήτορα Ap μπορεί να επιτευχθεί αν η
ημιομάδα T2 είναι ισχυρώς συνεχής επί του L2(Ω) και ο ολοκληρωτικός πυρήνας του
γεννήτορα A2 ικανοποιεί μια συγκεκριμένη εκτίμηση Gauss τάξης m. Έχουμε
διανθίσει το περιεχόμενο με εφαρμογές στη θεωρία των ελλειπτικών διαφορικών
τελεστών.
Λέξεις-κλειδιά:
Ισχυρώς συνεχής ημιομάδα, Απειροστικός γεννήτορας, Ελλειπτικός διαφορετικός τελεστής, Lp-φασματική ανεξαρτησία, Εκτίμηση Gauss
