Σημειαική σύγκλιση της σειράς Fourier-Το θεώρημα του Carleson

Διπλωματική Εργασία uoadl:1319731 336 Αναγνώσεις

Μονάδα:
Κατεύθυνση Θεωρητικά Μαθηματικά
Βιβλιοθήκη Σχολής Θετικών Επιστημών
Ημερομηνία κατάθεσης:
2016-09-21
Έτος εκπόνησης:
2016
Συγγραφέας:
Σκαρμόγιαννης Νικόλαος
Στοιχεία επιβλεπόντων καθηγητών:
Απόστολος Γιαννόπουλος Καθηγητής
Πρωτότυπος Τίτλος:
Σημειαική σύγκλιση της σειράς Fourier-Το θεώρημα του Carleson
Γλώσσες εργασίας:
Ελληνικά
Μεταφρασμένος τίτλος:
Pointwise convergence of Fourier series – Carleson’s theorem
Περίληψη:
Σκοπός της εργασίας είναι να περιγραφεί πλήρως η απόδειξη του θεωρήματος
Carleson-Hunt: αν f είναι μια p-ολοκληρώσιμη 2π-περιοδική συνάρτηση, όπου p>1,
τότε η σειρά Fourier S[f](x) συγκλίνει στην f(x) σχεδόν για κάθε x.
Στο πρώτο κεφάλαιο εκθέτουμε κάποια θεωρήματα παρεμβολής για υπογραμμικούς
τελεστες που θα μας χρειαστούν στη συνέχεια: μεταξύ αυτών, το θεώρημα του
Marcinkiewicz και το θεώρημα παρεμβολής Stein-Weiss. Έπειτα διατυπώνουμε το
βασικό λήμμα-θεώρημα η αποδοχή του οποίου οδηγεί εύκολα στο θεώρημα
Carleson-Hunt.
Στο δεύτερο κεφάλαιο εισάγουμε δυο γραμμικούς τελεστές με τη βοήθεια των οποίων
αποδεικνύουμε ότι ο μετασχηματισμός Hilbert και ο μεγιστικός μετασχηματισμός
Hilbert είναι τύπου p για κάθε p >1, καθώς και κάποιες εκθετικές εκτιμήσεις γι'
αυτούς τους μετασχηματισμούς.
Στο τρίτο κεφάλαιο εισάγουμε την έννοια των δυαδικών διαστημάτων που είναι
απαραίτητα για τη συνέχεια και κάποιους τροποποιημένους μετασχηματισμούς
Hilbert που αντιστοιχούν σε αυτά. Κατόπιν εισάγουμε τους γενικευμένους
συντελεστές Fourier και μεταθέτουμε το πρόβλημα στο να αποδείξουμε ότι κάποιος
κατάλληλος τελεστής M* είναι τύπου p πάνω στις χαρακτηριστικές συναρτήσεις.
Στο τελευταίο και πιο τεχνικό κεφάλαιο ορίζουμε κάποια σύνολα εξαίρεσης το
μέτρο των οποίων είναι "τύπου p" και με τη βοήθεια αυτών δείχνουμε ότι ο M*
έχει τη ζητούμενη ιδιότητα. Έτσι τελειώνει η απόδειξη.
Λέξεις-κλειδιά:
Σειρά, Fourier, Σημειακή, Σύγκλιση, p-ολοκληρώσιμη
Ευρετήριο:
Όχι
Αρ. σελίδων ευρετηρίου:
0
Εικονογραφημένη:
Όχι
Αρ. βιβλιογραφικών αναφορών:
11
Αριθμός σελίδων:
141