Το Θεώρημα Hurewicz

Διπλωματική Εργασία uoadl:2075219 626 Αναγνώσεις

Μονάδα:
Κατεύθυνση Θεωρητικά Μαθηματικά
Βιβλιοθήκη Σχολής Θετικών Επιστημών
Ημερομηνία κατάθεσης:
2017-10-29
Έτος εκπόνησης:
2017
Συγγραφέας:
Λεβέντη Θεοδώρα
Στοιχεία επιβλεπόντων καθηγητών:
Ιάκωβος Ανδρουλιδάκης, Αναπληρωτής Καθηγητής, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ
Διονύσιος Λάππας, Αναπληρωτή Καθηγητής, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ
Αντώνιος Μελάς, Καθηγητής, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ
Πρωτότυπος Τίτλος:
Το Θεώρημα Hurewicz
Γλώσσες εργασίας:
Αγγλικά
Ελληνικά
Μεταφρασμένος τίτλος:
Το Θεώρημα Hurewicz
Περίληψη:
Στην παρούσα διπλωματική εργασία παρουσιάζεται μια απόδειξη του θεωρήματος Hurewicz για ζεύγη χώρων (X, A). Το θεώρημα Hurewicz (σχετική περίπτωση) παρέχει έναν ισομορφισμό μεταξύ ομάδων ομολογίας και πηλίκων ομάδων ομοτοπίας για (n − 1)-συνεκτικά ζεύγη χώρων (X, A), όπου το A είναι κατά τόξα συνεκτικό. Διατυπώθηκε από τον Witold Hurewicz το 1935, ο οποίος εισήγαγε, επίσης, την έννοια της ομοτοπίας μεταξύ χώρων, όρισε τις απόλυτες και σχετικές ομάδες ομοτοπίας διάστασης n ≥ 2 και σχημάτισε μια μακρά ακολουθία για τις ομάδες αυτές. Η απόδειξη που επιλέξαμε να παρουσιάσουμε εδώ δεν κάνει χρήση CW προσέγγισης, αλλά ακολουθεί έναν πιο ομολογιακό τρόπο σκέψης. Οδηγό αποτέλεσαν οι αποδείξεις που περιλαμβάνονται στα βιβλία"Elements of homotopy theory" (1978) του Whitehead, "Algebraic topology" (1966) του Spanier και "Algebraic topology" (2008) του Dieck.
Η παρούσα εργασία διαρθρώνεται ως εξής:
Στο Κεφάλαιο 1 δίνονται απαραίτητες έννοιες σχετικές με τους τοπολογικούς χώρους, διάφορες τοπολογίες και τοπολογικές ιδιότητες. Παρουσιάζονται βασικές πράξεις επί χώρων, όπως κύλινδροι, κώνοι, suspensions, κύλινδροι απεικόνισης, αλλά και συγκεκριμένοι χώροι που εμφανίζονται στην αλγεβρική τοπολογία, όπως ο χώρος βρόχου, ο Η-χώρος (Hopf-space), τα simplices, τα simplicial complexes και τα CW complexes. Ιδιαίτερα αναλύεται ο n-διάστατος πραγματικός προβολικός χώρος \(RP^n\).
Στο Κεφάλαιο 2 ασχολούμαστε με τη θεωρία ομοτοπίας. Εισάγονται οι έννοιες της ομοτοπίας μεταξύ απεικονίσεων, της παραμόρφωσης συστολής, και των ομοτοπικά ισοδύναμων χώρων. Στη συνέχεια ορίζονται η θεμελιώδης ομάδα ενός χώρου, οι ομάδες ομοτοπίας ανώτερης τάξης και οι σχετικές ομάδες ομοτοπίας ζεύγους χώρων. Κάνοντας χρήση του χώρου βρόχου, των mapping #bres και εφαρμόζοντας συναρτητές σχηματίζονται μακρές ακολουθίες ομάδων ομοτοπίας, οι οποίες αποδεικνύονται τελικά ακριβείς.
Στο Κεφάλαιο 3 ορίζεται η θεωρία ομολογίας αξιωματικά. Επιλέγεται η singular ομολογία προκειμένου να δειχθούν η ύπαρξη ομολογίας και η μοναδικότητά της ως προς ισομορφισμό, ενώ η simplicial και η cellular ομολογία εισάγονται συνοπτικά στο τέλος του κεφαλαίου. Με τη χρήση τους γίνονται ορισμένοι υπολογισμοί ομάδων, όπως του κύκλου και του προβολικού χώρου διάστασης n.
Το Κεφάλαιο 4 ξεκινά με ορισμένα στοιχεία για την simplicial προσέγγιση χώρων. Ακολούθως παρουσιάζονται κάποια σημαντικά για την αλγεβρική τοπολογία θεωρήματα και ορισμένα εξ αυτών αποδεικνύονται αναλυτικά. Πρόκειται για το θεώρημα της cellular προσέγγισης, το θεώρημα της CW προσέγγισης χώρων και το excision θεώρημα για την ομοτοπία.
Τέλος, στο Κεφάλαιο 5 περιλαμβάνεται η απόδειξη του θεωρήματος Hurewicz. Πιο συγκεκριμένα διατυπώνονται το απόλυτο και το σχετικό θεώρημα Hurewicz και αποδεικνύεται το σχετικό με μια προσέγγιση από την σκοπιά της ομολογίας. Το απόλυτο προκύπτει ως πόρισμα μέσω του σχετικού θεωρήματος.
Κύρια θεματική κατηγορία:
Θετικές Επιστήμες
Λέξεις-κλειδιά:
Θεώρημα Hurewicz, αλγεβρική τοπολογία, θεωρία ομοτοπίας, θεωρία ομολογίας, ομάδες ομοτοπίας ανώτερης τάξης
Ευρετήριο:
Όχι
Αρ. σελίδων ευρετηρίου:
0
Εικονογραφημένη:
Ναι
Αρ. βιβλιογραφικών αναφορών:
21
Αριθμός σελίδων:
94