Ισοπεριμετρικές ανισότητες για το μέτρο του Gauss

Διπλωματική Εργασία uoadl:2658788 486 Αναγνώσεις

Μονάδα:
Κατεύθυνση Θεωρητικά Μαθηματικά
Βιβλιοθήκη Σχολής Θετικών Επιστημών
Ημερομηνία κατάθεσης:
2018-02-11
Έτος εκπόνησης:
2018
Συγγραφέας:
Μαστροθεοδώρου Μαρία
Στοιχεία επιβλεπόντων καθηγητών:
Απόστολος Γιαννόπουλος, Καθηγητής του Τμήματος Μαθηματικών, ΕΚΠΑ (επιβλέπων)
Γατζαούρας Δημήτριος, Καθηγητής του Τμήματος Μαθηματικών, ΕΚΠΑ
Χελιώτης Δημήτριος, Αναπληρωτής Καθηγητής του Τμήματος Μαθηματικών, ΕΚΠΑ
Πρωτότυπος Τίτλος:
Ισοπεριμετρικές ανισότητες για το μέτρο του Gauss
Γλώσσες εργασίας:
Ελληνικά
Μεταφρασμένος τίτλος:
Ισοπεριμετρικές ανισότητες για το μέτρο του Gauss
Περίληψη:
Παρουσιάζουμε γεωμετρικές ανισότητες για το μέτρο του Gauss στον n-διάστατο Ευκλείδειο χώρο.
Η ισοπεριμετρική ανισότητα στον χώρο του Gauss ισχυρίζεται ότι ανάμεσα σε όλα τα Borel υποσύνολα του Rn που έχουν δεδομένο μέτρο α, οι ημίχωροι μέτρου α έχουν την ελάχιστη επιφάνεια. Παρουσιάζουμε τρεις αποδείξεις. Η πρώτη βασίζεται στην παρατήρηση του Poincare και ουσιαστικά ανάγει το πρόβλημα στο ισοπεριμετρικό πρόβλημα για την σφαίρα. Η δεύτερη βασίζεται στη μέθοδο της Gaussian συμμετρικοποίησης. Η τρίτη οφείλεται στον Bobkov και χρησιμοποιεί μια συναρτησιακή ανισότητα, η απόδειξη της οποίας, με τη σειρά της, βασίζεται σε μια ανισότητα δύο σημείων και στο κεντρικό οριακό θεώρημα, στο πνεύμα της αρχικής απόδειξης της λογαριθμικής ανισότητας Sobolev από τον Gross.
Στη συνέχεια παρουσιάζουμε την απόδειξη της ανισότητας Ehrhard-Borell, η οποία είναι ισχυρότερη από την ισοπεριμετρική ανισότητα. Ο Ehrhard έδωσε μια απόδειξή της χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της Gaussian συμμετρικοποίησης, όμως το επιχείρημά του περιοριζόταν στα κυρτά σύνολα. Τελικά, ο Borell αφαίρεσε την υπόθεση της κυρτότητας και απέδειξε την ανισότητα σε πλήρη γενικότητα. Περιγράφουμε το επιχείρημα του Ehrhard και το επιχείρημα του Borell το οποίο οδηγεί σε μια γενικότερη συναρτησιακή ανισότητα.
Στο επόμενο κεφάλαιο μελετάμε το ρυθμό μεταβολής του μέτρου Gauss συμμετρικών κυρτών σωμάτων ως προς διαστολές. Το κεντρικό αποτέλεσμα οφείλεται στους Latala και Oleszkiewicz, οι οποίοι απέδειξαν μια εικασία του Shepp. Για την απόδειξη χρησιμοποιούμε αρχικά την ανισότητα του Ehrhard για να αναγάγουμε το πρόβλημα σε ένα τεχνικό αλλά διδιάστατο πρόβλημα.
Στο επόμενο κεφάλαιο παρουσιάζουμε την πρόσφατη απόδειξη του Royen για την εικασία της θετικής συνδιακύμανσης για το μέτρο του Gauss: το μέτρο της τομής δύο συμμετρικών κυρτών σωμάτων είναι μεγαλύτερο ή ίσο από το γινόμενο των μέτρων τους.
Στη συνέχεια παρουσιάζουμε το B-θεώρημα των Cordero-Erausquin, Fradelizi και Maurey, το οποίο απαντά θετικά σε μια εικασία του Banaszczyk. Η ανάλυση που γίνεται ανάγει το πρόβλημα σε μια ανισότητα τύπου Poincare για τον περιορισμό του μέτρου του Gauss σε ένα συμμετρικό κυρτό σώμα.
Τέλος, παρουσιάζουμε εφαρμογές των παραπάνω γεωμετρικών ανισοτήτων σε γνωστά συνδυαστικά προβλήματα εξισορρόπησης διανυσμάτων.
Κύρια θεματική κατηγορία:
Θετικές Επιστήμες
Λέξεις-κλειδιά:
Ισοπεριμετρικές, ανισότητες, μέτρο Gauss
Ευρετήριο:
Όχι
Αρ. σελίδων ευρετηρίου:
0
Εικονογραφημένη:
Όχι
Αρ. βιβλιογραφικών αναφορών:
60
Αριθμός σελίδων:
111
Gaussian-measure.pdf (779 KB) Άνοιγμα σε νέο παράθυρο