Κατεύθυνση Εφαρμοσμένα Μαθηματικά
Βιβλιοθήκη Σχολής Θετικών Επιστημών

2018-08-28

2018

Παπαλαζάρου Αλεξία

Νικόλαος Αλικάκος, Καθηγητής, Τμήμα Μαθηματικών, Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών

The Cahn-Hilliard equation-Construction of a periodic solution

Αγγλικά

Η εξίσωση Cahn-Hilliard- Κατασκευή μιας περιοδικής λύσης

Στην διπλωματική αυτή θα ασχοληθούμε με την μελέτη της εξίσωσης Cahn-Hilliard. Πιο συγκεκριμένα, θα κατασκευάσουμε περιοδικές και μη φραγμένες λύσεις της. Η εξίσωση Cahn-Hilliard ανήκει σε μια τάξη εξελικτικών εξισώσεων τύπου αντίδρασης-διάχυσης. Από φυσικής πλευράς, έχουμε να κάνουμε με ένα πρόβλημα αλλαγής φάσης, κατά το οποίο δημιουργούνται (δι)επιφάνειες. Επιπλέον, η εξίσωση Cahn-Hilliard είναι η απλούστερη εξίσωση η οποία διατηρεί την μάζα και μειώνει το συναρτησιακό της ενέργειας. Από γεωμετρικής πλευράς, η Cahn-Hilliard διατηρεί τον όγκο που περικλείεται από τις παραπάνω επιφάνειες και μειώνει παράλληλα την περίμετρο. Όσον αφορά την κατασκευή των λύσεων, ενδιαφερόμαστε για την κατασκευή τέτοιων ώστε οι επιφάνειες που τους αντιστοιχούν να μην είναι απλές σφαίρες αλλά να είναι μη φραγμένες επιφάνειες σταθερής μέσης καμπυλότητας. Η μέθοδος κατασκευής τους είναι η εξής:
Ξεκινάμε με μια πρώτη προσέγγιση της λύσης, η οποία είναι η μονοδιάστατη ετεροκλινής. Έπειτα συνεχίζουμε με μια δεύτερη προσέγγιση της λύσης, στις δύο διαστάσεις. Παίρνουμε την επέκταση της προηγούμενης προσεγγιστικής λύσης κοντά σε μια επιφάνεια σταθερής μέσης καμπυλότητας. Σε αυτό το σκέλος χρησιμοποιούμε θεωρία συνήθων διαφορικών εξισώσεων και ανάλυση πεδίου φάσης. Τέλος, επεκτείνουμε την προσεγγιστική αυτή μας λύση σε ολόκληρο τον χώρο. Ως εκ τούτου, θα χρειαστούμε θεωρία τελεστών, χρήση της μεθόδου Lyapounov-Schmidt και χρήση επιχειρημάτων σταθερού σημείου.

Θετικές Επιστήμες

Περιοδική, λύση, χίλιαρντ

Όχι

0

Όχι

18

45

https://pergamos.lib.uoa.gr/uoa/dl/object/2780660/file.pdf

https://pergamos.lib.uoa.gr/uoa/dl/object/2780660