Εισαγωγή στη Θεωρία Χώρων Τελεστών και Θεωρήματα Επέκτασης

Διπλωματική Εργασία uoadl:2864927 414 Αναγνώσεις

Μονάδα:
Κατεύθυνση Θεωρητικά Μαθηματικά
Βιβλιοθήκη Σχολής Θετικών Επιστημών
Ημερομηνία κατάθεσης:
2019-03-05
Έτος εκπόνησης:
2019
Συγγραφέας:
Παπαπέτρος Ευάγγελος
Στοιχεία επιβλεπόντων καθηγητών:
Δημήτρης Γατζούρας, Καθηγητής, Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αθηνών
Μιχάλης Ανούσης, Καθηγητής, Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου
Απόστολος Γιαννόπουλος, Καθηγητής, Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αθηνών
Πρωτότυπος Τίτλος:
Εισαγωγή στη Θεωρία Χώρων Τελεστών και Θεωρήματα Επέκτασης
Γλώσσες εργασίας:
Ελληνικά
Μεταφρασμένος τίτλος:
Εισαγωγή στην Θεωρία Χώρων Τελεστών και Θεωρήματα Επέκτασης
Περίληψη:
Το αντικείμενο μελέτης της εργασίας αυτής είναι οι τελεστές και ιδιαίτερα οι γραμμικοί και φραγμένοι τελεστές από ένα χώρο Hilbert στον εαυτό του. Μελετούμε επίσης χώρους τελεστών, οι οποίοι ορίζονται ως υπόχωροι μιας $C^{\star}$ άλγεβρας $\mathcal{A}.$ Ειδικότερα, μελετούμε συστήματα τελεστών, δηλαδή, αυτοσυζυγείς υπόχωρους που περιέχουν τη μονάδα της άλγεβρας.

Έπειτα μελετούμε απεικονίσεις από συστήματα τελεστών σε μια τυχούσα $C^{\star}$ άλγεβρα και ασχολούμαστε με τις θετικές, πλήρως θετικές και πλήρως φραγμένες απεικονίσεις και αποδεικνύουμε βασικά θεωρήματα επέκτασης, όπως αυτά των Stinespring, Arveson και Wittstock.

Στο Κεφάλαιο 1, παρουσιάζονται βασικές έννοιες από τη θεωρία των τανυστικών γινομένων. Ορίζουμε το τανυστικό γινόμενο γραμμικών χώρων, το προβολικό τανυστικό γινόμενο χώρων Banach, τανυστικό γινόμενο χώρων Hilbert και τανυστικά γινόμενα $C^{\star}$ αλγεβρών.

Στο Κεφάλαιο 2 της εργασίας, ορίζονται οι $C^{\star}$ άλγεβρες $\mathbb{M}_{n}(\mathcal{A})$ όπου $\mathcal{A}$ είναι $C^{\star}$ άλγεβρα, παρουσιάζονται Θεωρήματα Διαστολής γραμμικών και φραγμένων τελεστών σε χώρους Hilbert καθώς επίσης και βασικές έννοιες από θετικές απεικονίσεις.

Στο Κεφάλαιο 3, εισάγεται η έννοια της πλήρως θετικής απεικόνισης από ένα σύστημα τελεστών σε μια $C^{\star}$ άλγεβρα και αποδεικνύεται το Θεώρημα Choi.

Στο Κεφάλαιο 4, διατυπώνεται και αποδεικνύεται το Θεώρημα Stinespring που χαρακτηρίζει τις πλήρως θετικές απεικονίσεις από μια $C^{\star}$ άλγεβρα $\mathcal{A}$ στην $C^{\star}$ άλγεβρα $\mathbb{B}(H)$ ενός χώρου Hilbert $H$.

Στο Κεφάλαιο 5, ασχολούμαστε ειδικά με πλήρως θετικές απεικονίσεις που παίρνουν τιμές στην άλγεβρα $\mathbb{M}_{n}(\mathbb{C})$ και αποδεικνύουμε ένα Θεώρημα Επέκτασης τύπου Arveson. Tο βασικό Θεώρημα Επέκτασης του Arveson παρουσιάζεται στο Κεφάλαιο 6.

Τέλος, στο Κεφάλαιο 7, παρουσιάζονται δύο βασικά θεωρήματα του Wittstock, ένα Θεώρημα Επέκτασης και ένα Θεώρημα Διάσπασης, σύμφωνα με τα οποία συμπεραίνουμε ότι η γραμμική θήκη των πλήρως θετικών απεικονίσεων είναι οι πλήρως φραγμένες απεικονίσεις.
Κύρια θεματική κατηγορία:
Θετικές Επιστήμες
Λέξεις-κλειδιά:
Χώροι Τελεστών, Συστήματα Τελεστών, Πλήρως Θετικές Απεικονίσεις, Θεωρήματα Διαστολής, Θεωρήματα Επέκτασης
Ευρετήριο:
Όχι
Αρ. σελίδων ευρετηρίου:
0
Εικονογραφημένη:
Όχι
Αρ. βιβλιογραφικών αναφορών:
5
Αριθμός σελίδων:
103
Διπλωματική Εργασία - Χώροι Τελεστών.pdf (363 KB) Άνοιγμα σε νέο παράθυρο