Έννοιες καμπυλότητας με έμφαση στους χώρους σταθερής καμπυλότητας Riemann.

Διπλωματική Εργασία uoadl:2866710 503 Αναγνώσεις

Μονάδα:
Κατεύθυνση Θεωρητικά Μαθηματικά
Βιβλιοθήκη Σχολής Θετικών Επιστημών
Ημερομηνία κατάθεσης:
2019-03-20
Έτος εκπόνησης:
2019
Συγγραφέας:
Αργυρίου Αρετή
Στοιχεία επιβλεπόντων καθηγητών:
Διονύσιος Λάππας Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών
ΕΚΠΑ
Πρωτότυπος Τίτλος:
Έννοιες καμπυλότητας με έμφαση στους χώρους σταθερής καμπυλότητας Riemann.
Γλώσσες εργασίας:
Ελληνικά
Μεταφρασμένος τίτλος:
Έννοιες καμπυλότητας με έμφαση στους χώρους σταθερής καμπυλότητας Riemann.
Περίληψη:
Η ιστορική διαδρομή και εξέλιξη της έννοιας της καμπυλότητας σκιαγραφείται στο 1ο κεφάλαιο της παρούσης εργασίας μέσα από τις πρωτότυπες ιδέες του Georg Friedrich Bernhard Riemann στην ιστορική του διάλεξη «Επί των σχετικών με την γεωμετρία υποθέσεων» του 1854 στο Göttingen University. Μια διάλεξη που αποτέλεσε σταθμό για τον μετέπειτα καθολικό ορισμό της έννοιας από τους διαδόχους του Tullio Levi-Civita και Gregorio Ricci-Curbastro που παρουσιάζονται στη συνέχεια αναλυτικά.
Στο 2ο κεφάλαιο παρουσιάζονται οι ιδιότητες των χώρων σταθερής καμπυλότητας και η τοπική περιγραφή των συντελεστών καμπυλότητας Riemann . Γίνεται αναλυτική απόδειξη του θεωρήματος του F.Schur(1886) που χαρακτηρίζει όλες τις συνεκτικές ισοτροπικές πολλαπλότητες διάστασης μεγαλύτερης του 2 ως χώρους σταθερής καμπυλότητας. Μέσα από τους συλλογισμούς του ίδιου του Riemann περιγράφεται αναλυτικά η απόδειξη του Θεωρήματος Riemann όπου χαρακτηρίζει όλους τους χώρους, που σε κάποιο σημείο τους έχουν καμπυλότητα μηδέν, ως χώρους τοπικά ισομετρικούς με τον Ευκλείδειο χώρο τον οποίο έχουμε εφοδιάσει με τη συνήθη Ευκλείδεια μετρική. Η απόδειξη ξεκινά με την εξίσωση μεταφοράς της δοσμένης μετρικής του χώρου μας στην Ευκλείδεια μετρική και καταλήγει σε ένα διαφορικό σύστημα δευτέρου βαθμού που έχει τοπική λύση εάν και μόνο εάν η καμπυλότητα Riemann του χώρου είναι μηδέν.
Στο 3ο κεφάλαιο της εργασίας διερευνώνται οι σχέσεις μεταξύ των εννοιών της καμπυλότητας και των ισομετριών. Γίνεται αναφορά στο Θεώρημα του Cartan για χώρους ίδιας διάστασης στους οποίου «διατηρείται» η μετρική και του οποίου παρουσιάζεται αναλυτικά η απόδειξη καθώς και οι συνέπειές του σε χώρους σταθερής καμπυλότητας Riemann. Για την αλήθεια του ερωτήματος αν isocurve δυο χώρων σε κάποιο σημείο συνεπάγεται και ισομετρία των χώρων αυτών σε αυτό το σημείο, δίνεται αντιπαράδειγμα για τις επιφάνειες του R^3. Στη συνέχεια υπολογίζονται οι καμπυλότητες του Ευκλείδειου χώρου R^n , της σφαίρας S^n και του υπερβολικού χώρου H^n . Τέλος παρουσιάζεται το Θεώρημα δομής των χώρων σταθερής καμπυλότητας και γίνεται σύντομη ιστορική αναφορά στις ομάδες των ισομετριών των Space forms.
Κύρια θεματική κατηγορία:
Θετικές Επιστήμες
Λέξεις-κλειδιά:
καμπυλότητα, σταθερή καμπυλότητα, μηδενική καμπυλότητα
Ευρετήριο:
Όχι
Αρ. σελίδων ευρετηρίου:
0
Εικονογραφημένη:
Ναι
Αρ. βιβλιογραφικών αναφορών:
15
Αριθμός σελίδων:
95

Έννοιες καμπυλότητας με έμφαση στους χώρους σταθερής καμπυλότητας Riemann-Αργυρίου Αρετή.pdf
1 MB
Δεν επιτρέπεται η πρόσβαση στο αρχείο. H πρόσβαση επιτρέπεται μόνο εντός του δικτύου του ΕΚΠΑ.