Στοιχεία επιβλεπόντων καθηγητών:
Εμμανουήλ Ιωάννης, καθηγητής, Τμήμα Μαθηματικών, Εθνικό Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών
Περίληψη:
Η εργασία έχει ως αντικείμενο την έννοια της περιοδικής συνομολογίας για άπειρες ομάδες (περιοδική συνομολογία μετά από κ-βήματα). Η περιοδική συνομολογία μετά από k-βήματα γενικεύει την έννοια της περιοδικής (Tate) συνομολογίας πεπερασμένων ομάδων στην περίπτωση απείρων ομάδων.
Το πρώτο κεφάλαιο εισάγει κάποιες βασικές έννοιες από την Ομολογική άλγεβρα που θα χρειαστούν στη συνέχεια, με έμφαση σε αυτές του pushout και του pullback, των επαγόμενων και συνεπαγόμενων προτύπων και στις ιδιότητές τους.
Το δεύτερο κεφάλαιο πραγματεύεται τη διαγώνια δράση μιας ομάδας G επί της αβελιανής ομάδας των Z-ομομορφισμών και της αβελιανής ομάδας του τανυστικού γινομένου υπεράνω του Z για δύο ZG-πρότυπα A και B. Αποδεικνύεται ότι με τη διαγώνια δράση, αυτές οι αβελιανές ομάδες καθίστανται ZG-πρότυπα και μελετάται η σχέση της διαγώνιας δράσης με τα επαγόμενα και τα συνεπαγόμενα πρότυπα.
Στο τρίτο κεφάλαιο μελετώνται οι ομάδες Ext ως ομάδες επεκτάσεων προτύπων. Εισάγεται το άθροισμα Baer δύο επεκτάσεων, το γινόμενο Yoneda στο επίπεδο επεκτάσεων και προβολικών επιλύσεων και το cup product. Τέλος, αποδεικνύουμε ότι κάθε φυσικός μετασχηματισμός μεταξύ Ext ομάδων επάγεται από κατάλληλο ομομορφισμό και δίνονται ικανές και αναγκαίες συνθήκες ώστε ένας τέτοιος μετασχηματισμός να είναι μονομορφισμός, επιμορφισμός και ισομορφισμός.
Στο τέταρτο κεφάλαιο μελετάμε τις αλγεβρικές αναλλοίωτες silpZG, spliZG και findimZG για μία ομάδα G. Αποδεικνύουμε ότι το silpZG είναι μικρότερο ή ίσο του spliZG, ενώ αν το spliZG είναι πεπερασμένο, τότε τα silpZG, spliZG και findimZG είναι ίσα.
Το πέμπτο κεφάλαιο είναι το βασικό μέρος της εργασίας. Ορίζεται η έννοια της περιοδικής συνομολογίας με περίοδο q μετά από k-βήματα, η έννοια της περιοδικής προβολικής επίλυσης με περίοδο q μετά από k-βήματα και αποδεικνύεται ότι οι δύο αυτές έννοιες είναι ισοδύναμες. Εισάγεται η έννοια της πλήρους επίλυσης και αποδεικνύεται ότι κάθε ομάδα με περιοδική συνομολογία με περίοδο q μετά από k-βήματα έχει πλήρη επίλυση με δείκτη σύμπτωσης k. Τέλος, δίνονται ικανές και αναγκαίες συνθήκες ώστε οι ισομορφισμοί στη συνομολογία μιας ομάδας G να δίνονται μέσω cup product.
Το έκτο κεφάλαιο παρουσιάζει μία εφαρμογή των αποτελεσμάτων του πέμπτου κεφαλαίου σε μία κλάση ομάδων. Συγκεκριμένα, αποδεικνύουμε ότι αν μία ομάδα G έχει πεπερασμένη συνομολογική διάσταση m και περιέχει μία άπειρη κυκλική υποομάδα, τότε η ομάδα πηλίκο έχει περιοδική συνομολογία με περίοδο 2 ή 4 μετά από m-1 βήματα και ο ισομορφισμός στη συνομολογία δίνεται μέσω cup product. Ιδιαιτέρως, αν η G είναι πεπερασμένα παραγόμενη και ελεύθερη στρέψης μηδενοδύναμη ομάδα με αριθμό Hirsch m, τότε για κάθε κεντρικό στοιχείο x, η ομάδα G/ έχει περιοδική συνομολογία με περίοδο 2 μετά από m-1 βήματα που δίνεται μέσω cup product.
