Μεθοδολογίες υπολογισμού διγραμμικών μορφών και εφαρμογές

Διδακτορική Διατριβή uoadl:2918920 27 Αναγνώσεις

Μονάδα:
Τμήμα Μαθηματικών
Βιβλιοθήκη Σχολής Θετικών Επιστημών
Ημερομηνία κατάθεσης:
2020-07-10
Έτος εκπόνησης:
2020
Συγγραφέας:
Ρούπα Παρασκευή
Στοιχεία επταμελούς επιτροπής:
Μαριλένα Μητρούλη, Καθηγήτρια, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ
Βασίλειος Δουγαλής, Ομότιμος Καθηγητής, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ
Μιχαήλ Δρακόπουλος, Επίκουρος Καθηγητής, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ
Δημήτριος Θηλυκός, Καθηγητής, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ
Σωτήριος Νοτάρης, Καθηγητής, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ
Παναγιώτης Ψαρράκος, Καθηγητής, ΣΕΜΦΕ, ΕΜΠ
Ιωάννης Κολέτσος, Αναπληρωτής Καθηγητής, ΣΕΜΦΕ, ΕΜΠ
Πρωτότυπος Τίτλος:
Μεθοδολογίες υπολογισμού διγραμμικών μορφών και εφαρμογές
Γλώσσες διατριβής:
Ελληνικά
Μεταφρασμένος τίτλος:
Μεθοδολογίες υπολογισμού διγραμμικών μορφών και εφαρμογές
Περίληψη:
Στην σημερινή εποχή είναι απαραίτητη η διαχείριση δεδομένων μεγάλης
διάστασης, γεγονός που απαιτεί την ανάπτυξη κατάλληλων μεθοδολογιών για
αυτόν τον σκοπό. Ο υπολογισμός διγραμμικών μορφών και συναφών ποσοτήτων
οδηγεί σε χρήσιμα συμπεράσματα και συχνά αποτελεί κριτήριο για ιδιότητες
που σχετίζονται με την εκάστοτε εφαρμογή. Σχεδόν σε όλες τις επιστημονικές
εφαρμογές όπως είναι η ανάλυση δικτύων, η πληροφορική, η στατιστική, η
οικονομία κ.α., η επεξεργασία των δεδομένων και η εξαγωγή συμπερασμάτων
απαιτεί τη διαχείριση πινάκων μεγάλης διάστασης. Στις εφαρμογές αυτές,
συνήθως δεν είναι εφικτός ο απευθείας υπολογισμός των επιθυμητών
διγραμμικών μορφών και έτσι απαιτείται η εκτίμησή τους. Στην παρούσα
διδακτορική διατριβή παράγουμε εκτιμήσεις για τις διγραμμικές μορφές του
τύπου xᵀf(A)y, όπου A ϵ Rᵖˣᵖ είναι ένας δοσμένος πίνακας, x, y ϵ Rᵖ και f
είναι μία ομαλή συνάρτηση ορισμένη στο φάσμα του πίνακα A. Η προτεινόμενη
μέθοδος βασίζεται σε μία μέθοδο παρεκβολής. Συγκεκριμένα, δημιουργούμε
εκτιμήσεις για τη διγραμμική μορφή xᵀA⁻¹y, όπου ο πίνακας Α είναι
αντιστρέψιμος. Αν τα διανύσματα x, y επιλεχθούν να είναι στήλες του
ταυτοτικού πίνακα, μπορούν να προκύψουν εκτιμήσεις για τα στοιχεία του
αντιστρόφου του δοσμένου πίνακα A. Επίσης, προσαρμόζουμε μερικές
αριθμητικές μεθόδους που βασίζονται στη μέθοδο της παρεκβολής και στην
αριθμητική ολοκλήρωση του Gauss για την εκτίμηση της διαγωνίου συναρτήσεων
συμμετρικών πινάκων, χωρίς να προσεγγίσουμε ολόκληρο τον πίνακα f(A).
Επιπροσθέτως, παράγουμε παραμετρικές οικογένειες διανυσματικών εκτιμήσεων
ενός, δύο και τριών όρων για τη δράση της συνάρτησης ενός διαγωνίσιμου
πίνακα σε ένα διάνυσμα, δηλαδή του γινομένου f(A)b. Ο υπολογισμός της
ποσότητας f(A)b, πηγάζει από την ύπαρξη εφαρμογών στις οποίες δεν είναι
απαραίτητο να εκτιμηθεί ολόκληρος ο πίνακας f(A) ή δεν είναι εφικτός ο
ακριβής υπολογισμός του πίνακα αυτού, ειδικά όταν ο A είναι μεγάλης
διάστασης. Ασχολούμαστε επίσης με την εκτίμηση και ελαχιστοποίηση της
γενικευμένης συνάρτησης διασταυρωμένης επικύρωσης (συνάρτηση GCV)
συνδυάζοντας τη μέθοδο της παρεκβολής και μία στατιστική προσέγγιση. Η
συνάρτηση GCV είναι ένα δημοφιλές εργαλείο για τον προσδιορισμό της
ρυθμιστικής παραμέτρου στο γραμμικό μοντέλο παλινδρόμησης ή ισοδύναμα της
παραμέτρου κανονικοποίησης στην κανονικοποίηση Tikhonov. Τέλος,
εφαρμόζουμε τις παραχθείσες εκτιμήσεις για τις προαναφερθείσες ποσότητες
σε προβλήματα που πηγάζουν από την ανάλυση δικτύων. Συγκεκριμένα, θα
αναγνωρίσουμε τους σημαντικότερους κόμβους ενός δικτύου και θα
εξακριβώσουμε την ευκολία μετάβασης ανάμεσα στους κόμβους. Χρησιμοποιούμε
τις εκτιμήσεις που έχουν προκύψει για τη συνάρτηση GCV στην επίλυση
διακριτών κακώς τοποθετημένων προβλημάτων καθώς και στην εκτίμηση των
συντελεστών του γραμμικού μοντέλου παλινδρόμησης που μελετάται στη
Στατιστική.
Κύρια θεματική κατηγορία:
Θετικές Επιστήμες
Λέξεις-κλειδιά:
διγραμμική μορφή, διαγώνιος πίνακα, f(A)b, συνάρτηση GCV, παρεκβολή
Ευρετήριο:
Όχι
Αρ. σελίδων ευρετηρίου:
0
Εικονογραφημένη:
Ναι
Αρ. βιβλιογραφικών αναφορών:
71
Αριθμός σελίδων:
173