Στοιχεία επιβλεπόντων καθηγητών:
Γατζούρας Δημήτριος ,Καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών ΕΚΠΑ
Περίληψη:
Στην παρούσα διπλωματική εργασία παρουσιάζονται αποτελέσματα και τεχνικές της θεωρίας τυχαίων πινάκων, δηλαδή της θεωρίας που μελετά πίνακες με στοιχεία τυχαίες μεταβλητές, και τη σχέση αυτών με αποτελέσματα της κβαντικής θεωρίας πληροφορίας.Πιο συγκεκριμένα, αρχικά ορίζεται η έννοια της εμπειρικής φασματικής κατανομής ενός πίνακα, που είναι το ομοιόμορφο διακριτό μέτρο που επάγεται από τις ιδιοτιμές του. Στη συνέχεια μελετάται το όριο, με την έννοια της ασθενούς σύγκλισης τυχαίων μεταβλητών, της εμπειρικής φασματικής κατανομής τυχαίων πινάκων καθώς η διάσταση τους μεγαλώνει. Οι περιπτώσεις που εξετάζουμε, πάντα υπό κάποιες προϋποθέσεις, π.χ. ανεξαρτησία και ισονομία των στοιχείων του πίνακα, πεπερασμένες ροπές και άλλα, είναι οι ακόλουθες:
1. Η περίπτωση των τυχαίων τετραγωνικών συμμετρικών πινάκων.
2. Η περίπτωση του γινομένου ενός τυχαίου πίνακα (όχι κατ ' ανάγκην τετραγωνικού) με τον ανάστροφό του, ή τον ερμιτιανό του αντίστοιχα,υποθέτοντας ότι οι διαστάσεις του είναι ανάλογες.
3. Η περίπτωση του γινομένου ενός τυχαίου πίνακα (όχι κατ ' ανάγκην τετραγωνικού) με τον ανάστροφό του, όταν η μία διάσταση μεγαλώνει
πολύ γρηγορότερα από την άλλη.
Σε κάθε μία περίπτωση αποδεικνύεται ότι το όριο είναι ένα μέτρο πιθανότητας, απόλυτα συνεχές ως προς το μέτρο Lebesgue, με φραγμένο φορέα.Παράλληλα, σε κάθε μία από αυτές τις περιπτώσεις αποδεικνύεται και την σύγκλιση της μεγαλύτερης και της μικρότερης ιδιοτιμής των τυχαίων πινάκων στα αντίστοιχα άκρα του φορέα του ορίου, με την υπόθεση ότι τα στοιχεία του πίνακα ακολουθούν την τυπική κανονική κατανομή.Στη συνέχεια παρουσιάζονται εργαλεία της θεωρίας τυχαίων πινάκων χρήσι-μα στην περιοχή της κβαντικής θεωρίας πληροφορίας. Ορίζονται οι έννοιες της ∞-απόστασης Wasserstein και της τυχαίας επαγόμενης (κβαντικής) κατάστασης, και αποδεικνύονται ιδιότητές τους. Αποδεικνύεται συγκεκριμένα πως η έννοια της τυχαίας κβαντικής κατάστασης συνδέεται ισχυρά με τυχαίους πίνακες με στοιχεία που ακολουθούν την κανονική κατανομή. Εκμεταλλευόμενοι αυτή τη σύνδεση εφαρμόζουμε τα αποτελέσματα των προηγούμενων κεφαλαίων στις τυχαίες κβαντικές καταστάσεις.Στο τελευταίο κεφάλαιο χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα για τις τυχαίες κβαντικές καταστάσεις αποδεικνύουμε την ύπαρξη συνάρτησης (threshold) που εξαρτάται από την διάσταση του χώρου και χωρίζει με μεγάλη πιθανότητα τις καταστάσεις που είναι entangled από αυτές που δεν είναι, με βάση την διάσταση του περιβάλλοντος από το οποίο έχουν επαχθεί
Λέξεις-κλειδιά:
Τυχαίοι πίνακες,κβαντική θεωρία,κβαντική θεωρία πληροφορίας,Θεωρία Πιθανοτήτων,Μαθηματική Ανάλυση
