Μονάδα:
Τμήμα ΜαθηματικώνΒιβλιοθήκη Σχολής Θετικών Επιστημών
Ημερομηνία κατάθεσης:
2022-01-19
Συγγραφέας:
Μουστάκας Βασίλειος- Διονύσιος
Στοιχεία επταμελούς επιτροπής:
Χρίστος Αθανασιάδης, Καθηγητής, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ
Ιωάννης Εμμανουήλ, Καθηγητής, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ
Αριστείδης Κοντογεώργης, Καθηγητής, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ
Μιχάλης Μαλιάκας, Καθηγητής, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ
Ιωάννης Ντόκας, Επίκουρος Καθηγητής, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ.
Ελένη Τζανάκη, Επίκουρη Καθηγήτρια, Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης
Δημήτρης Χελιώτης, Αναπληρωτής Καθηγητής, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ
Πρωτότυπος Τίτλος:
Enumerative combinatorics, representations and quasisymmetric functions
Γλώσσες διατριβής:
Αγγλικά
Μεταφρασμένος τίτλος:
Απαριθμητική συνδυαστική, αναπαραστάσεις και quasi-συμμετρικές συναρτήσεις
Περίληψη:
Η παρούσα διατριβή αποτελείται ουσιαστικά από δυο μέρη με κύριο πρωταγωνιστή τις χρωματισμένες quasi-συμμετρικές συναρτήσεις. Το 1984 ο Gessel εισήγαγε τις quasi-συμμετρικές συναρτήσεις, μια γενίκευση των συμμετρικών συναρτήσεων. Έπειτα, το 1993, μαζί με τον Reutenauer μελέτησαν εκτιμήσεις διάφορων quasi-συμμετρικών συναρτήσεων που σχετίζονται με υποσύνολα της συμμετρικής ομάδας, τα οποία έχουν ενδιαφέρουσες ιδιότητες, όπως για παράδειγμα, συμμετρία και Schur-θτεικότητα. To 1998 ο Poirier εισήγαγε τις χρωματισμένες quasi-συμμετρικές συναρτήσεις, ένα χρωματισμένο ανάλογο των quasi-συμμετρικών συναρτήσεων του Gessel. Στο πρώτο μέρος, αναπτύσσουμε μια γενική θεωρία εκτιμήσεων χρωματισμένων quasi-συμμετρικών συναρτήσεων στο πνεύμα των Gessel και Reutenauer. Αυτό μας επιτρέπει να αποδείξουμε συστηματικά γενικευμένες ταυτότητες Euler-Mahonian πάνω από χρωματισμένες ομάδες μεταθέσεων καθώς και πάνω από ενδιαφέροντα υποσύνολα αυτών, όπως το σύνολο των χρωματισμένων μεταθέσεων χωρίς σταθερά σημεία μηδενικού χρώματος (colored derangements) και το σύνολο των χρωματισμένων μεταθέσεων που ισούνται με τον συζυγή αντίστροφό τους (absolute involutions). Το 2017 οι Elizalde και Roichman απέδειξαν ότι η quasi-συμμετρική γεννήτρια συνάρτηση ενός υποσυνόλου της συμμετρικής ομάδας, του οποίου η quasi-συμμετρική γεννήτρια συνάρτηση ισούται με την χαρακτηριστική Frobenius κάποιου χαρακτήρα χ της συμμετρικής ομάδας, και μιας αντίστροφης κλάσης καθόδων ισούται με τη χαρακτηριστική Frobenius του τανυστικού γινομένου του χ και του χαρακτήρα της αντίστοιχης αναπαράστασης καθόδων της συμμετρικής ομάδας. Στο δεύτερο μέρος αποδεικνύουμε ένα χρωματισμένο ανάλογο του θεωρήματος των Elizalde και Roichman. Πιο συγκεκριμένα, εισάγουμε την έννοια της χρωματισμένης λωρίδας και αποδεικνύουμε ότι η χαρακτηριστική Frobenius της αναπαράστασης καθόδων της χρωματισμένης ομάδας μεταθέσεων ισούται με την χρωματισμένη quasi-συμμετρική γεννήτρια συνάρτηση του συνόλου των ταμπλώ που το σχήμα τους είναι χρωματισμένη λωρίδα. Αυτό αποτελεί χρωματισμένο ανάλογο της προσέγγισης του Gessel στις αναπραστάσεις καθόδων της συμμετρικής ομάδας, ο οποίος χρησιμοποιεί λωρίδες (ή αλλιώς σχήματα zig-zag). Επιπλέον, στηριζόμενοι στη θεωρία χρωματισμένων P-διαμερίσεων των Hsiao και Petersen και την μέθοδο που αναπτύξαμε στο πρώτο μέρος,
διατυπώνουμε και αποδεινύουμε ένα χρωματισμένο ανάλογο του θεωρήματος ανακατέματος του Stanley.
Κύρια θεματική κατηγορία:
Θετικές Επιστήμες
Λέξεις-κλειδιά:
γεννήτρια συνάρτηση, συμμετρική συνάρτηση, quasi-συμμετρική συνάρτηση, συμμετρική ομάδα, ομάδα χρωματισμένων μεταθέσεων, κάθοδος, κατανομή Euler, κατανομή Mahonian, P-διαμέριση, ανακάτεμα, αναπαράσταση καθόδου, λωρίδα, Schur-θετικότητα
Αρ. σελίδων ευρετηρίου:
3
Αρ. βιβλιογραφικών αναφορών:
98
