Στοιχεία επταμελούς επιτροπής:
Π. Γιαννιώτης, Επίκουρος Καθηγητής, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ,
Ν. Καραχάλιος, Καθηγητής, Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας,
Γ. Μπαρμπάτης, Καθηγητής, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ,
Π. Σμυρνέλης, Επίκουρος Καθηγητής, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ,
Ι. Στρατής, Ομότιμος Καθηγητής, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ,
Α. Τερτίκας, Καθηγητής, Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης,
Ε. Φίλιππας, Καθηγητής, Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης.
Περίληψη:
Σκοπός της παρούσας διδακτορικής διατριβής είναι η διερεύνηση της ισχύος και των ιδιοτήτων της γνωστής ανισότητας του Hardy σε πλαίσια που υπερβαίνουν το κλασικό Ευκλείδειο πλαίσιο. Στο Κεφάλαιο 1 δίνουμε υπόβαθρο για τις ανισότητες Hardy, ιδιαίτερα όσον αφορά το μη-Ευκλείδειο πλαίσιο. Στο Κεφάλαιο 2 παρουσιάζουμε μια μέθοδο ολοκλήρωσης πάνω σε ολοκληρωτικές καμπύλες, που δίνει ανισότητες Hardy για ένα διαφορικό τελεστή πρώτης τάξης X σε κάποια πολλαπλότητα M με μορφή όγκου ω. Το Κεφάλαιο 3 ασχολείται με ανισότητες Rellich ανώτερης τάξης που σχετίζονται με γενικούς ελλειπτικούς τελεστές με σταθερούς συντελεστές, διαφορετικούς από τον κλασικό πολυαρμονικό τελεστη. Σε αυτή την περίπτωση, δείχνουμε ότι μια ανισότητα Rellich μπορεί να εκφραστεί μέσω μιας κατάλληλης απόστασης Finsler που εξαρτάται από το σύμβολο του τελεστή. Αυτή η νέα μορφή ανισότητας αποδεικνύεται να είναι βέλτιση στην περίπτωση που το χωρίο είναι ημιχώρος και το συμβολο ικανοποιεί μια συνθήκη κυρτότητας. Γίνεται επιπλέον σύγκριση για κυρτα χωρία με άλλες πιο κλασικές μεθόδους, που δίνει καλύτερα αποτελέσματα από τα υπάρχοντα σε ορισμένες συγκεκριμένες περιπτώσεις. Εν τέλει, στο Κεφάλαιο 4, ασχολούμαστε με την ευστάθεια της σταθεράς Hardy ως προς διαταραχές του χωρίου στην περίπτωση που η απόσταση μετράται από τμήμα (υποπολλαπλότητα) του συνόρου. Συγκεκριμένα βρίσκουμε ότι η σταθερά Hardy είναι και συνεχής και παραγωγίσιμη (κατά Gateaux) ως προς τέτοιες
διαταραχές, υπό την προϋπόθεση ότι το σύνορο ικανοποιεί κάποιες συνθήκες oμαλότητας.
