Μονάδα:
Κατεύθυνση Θεωρητικά ΜαθηματικάΒιβλιοθήκη Σχολής Θετικών Επιστημών
Ημερομηνία κατάθεσης:
2024-06-30
Συγγραφέας:
Μελάς Δημήτριος-Χρυσοβαλάντης
Στοιχεία επιβλεπόντων καθηγητών:
Ιακωβος Ανδρουλιδάκης, Αναπληρωτής Καθηγητής, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ
Διονύσιος Λάππας, Αφυπ. Αναπληρωτής Καθηγητής, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ
Δημήτριος Χελιώτης, Καθηγητής, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ
Πρωτότυπος Τίτλος:
Index theorems via groupoids, KK theory and cyclic cohomology
Γλώσσες εργασίας:
Αγγλικά
Μεταφρασμένος τίτλος:
Θεωρήματα δείκτη μέσω ομαδοειδών, ΚΚ θεωρίας και κυκλικής συνομολογίας
Περίληψη:
Την δεκαετία του 1960, οι Atiyah και Singer έδωσαν μια τεράστια γενίκευση
μιας σειράς αποτελεσμάτων που συνδέουν την Τοπολογία με την Ανάλυση. Το
θεώρημα Atiyah-Singer γενικεύει ταυτόχρονα το κλασσικό θεώρημα
Gauss-Bonnet, τη θεωρία Chern-Weil, καθώς και το θεώρημα Riemann-Roch. Το
αποτέλεσμα είναι ένας τύπος για τον υπολογισμό του αναλυτικού δείκτη ενός
ελλειπτικού (ψευδο)διαφορικού τελεστή, μέσω χαρακτηριστικών κλάσεων.
Η εργασία αυτή παρουσιάζει την μεταγενέστερη απόδειξη του θεωρήματος
Atiyah-Singer, χρησιμοποιώντας ομαδοειδή Lie και Κ-θεωρία. Αυτή η απόδειξη
προκύπτει από την παρατήρηση ότι ο αναλυτικός δείκτης εξαρτάται μόνο από
την κλάση του πρωτεύοντος συμβόλου στην Κ-θεωρία. Με έναυσμα αυτό, ο Alain
Connes χρησιμοποίησε ένα ομαδοειδές παραμόρφωσης για να περιγράψει την
σχέση του ελλειπτικού τελεστή με το πρωτεύον σύμβολο, μέσω της σχετικής
σύντομης ακριβούς ακολουθίας C*-αλγεβρών. Η συνοριακή απεικόνιση στην
Κ-θεωρία είναι η απεικόνιση αναλυτικού δείκτη.
Η Claire Debord έδειξε ότι τοπολογικό μέρος του θεωρήματος Atiyah-Singer
(τοπολογικός δείκτης), εκφράζεται στην Κ-θεωρία χρησιμοποιώντας και πάλι
deformation groupoids σε συνδυασμό με τον ισομορφισμό Thom. Η απόδειξη της
ισότητας των δύο δεικτών είναι ένα θεώρημα τύπου Poincare duality, το
οποίο εκφράζεται στο πλαίσιο της ΚΚ-θεωρίας του Kasparov.
Στο πλαίσιο αυτό, ο υπολογισμός του δείκτη γίνεται χρησιμοποιώντας
κατάλληλους σύγκυκλους στην κυκλική συνομολογία. Μερικά αποτελέσματα έχουν
δοθεί από τους Pflaum-Posthuma-Tang.
Κύρια θεματική κατηγορία:
Θετικές Επιστήμες
Λέξεις-κλειδιά:
Θεωρία δείκτη, μη μεταθετική γεωμετρία, Κ θεωρία -Κ ομολογία, ΚΚ θεωρία, κυκλική συνομολογία
Αρ. σελίδων ευρετηρίου:
0
Αρ. βιβλιογραφικών αναφορών:
41
