Κατεύθυνση Θεωρητικά Μαθηματικά
Βιβλιοθήκη Σχολής Θετικών Επιστημών

2017-09-22

2017

Κάρδαρης Δημήτρης

Αριστείδης Κοντογεώργης, Καθηγητής, Μαθηματικών, ΕΚΠΑ
Σοφία Λαμπροπούλου, Καθηγήτρια, Μαθηματικών, ΕΜΠ
Ιωάννης Εμμανουήλ, Καθηγητής, ΕΚΠΑ

Τοπολογικά ανάλογα νόμων αντιστροφής

Ελληνικά

Τοπολογικά ανάλογα ανωτέρων νόμων αντιστροφής

Σκοπός της παρούσας μεταπτυχιακής εργασίας είναι η πιο ενδελεχής διερεύνηση κάποιων εννοιών από τον κλάδο της Αριθμητικής Τοπολογίας που συνδέει, κάπως απροσδόκητα, βασικά αντικείμενα της Αλγεβρικής Θεωρίας Αριθμών με αυτά της Τοπολογίας 3-διαστάσεων. Η εναρκτήρια ιδέα της θεωρίας είναι να εκφράσει αυστηρά τους περίφημους νόμους αντιστροφής με έναν αμιγώς τοπολογικό τρόπο. Η δυνατότητα αυτή επιτυγχάνεται ερμηνεύοντας τα πρώτα ιδεώδη του δακτυλίου αλγεβρικών ακεραίων ενός αριθμητικού σώματος ως κόμβους. Στο πρώτο κεφάλαιο, αφού γίνει αρχικά η κατάλληλη εισαγωγή στις βασικές έννοιες του λεγόμενου MKR λεξικού, παρουσιάζουμε αναλογίες μεταξύ θεωρημάτων στη θεωρία Alexander-Fox για τις πολυωνυμικές αναλλοίωτες της Θεωρίας Κόμβων και της Θεωρίας Iwasawa στη Θεωρία Κλάσεων Σωμάτων. Οι αναλογίες αυτές θα γίνουν ορατές τόσο σε επίπεδο ασυμπτωτικών τύπων στην ομολογία όσο και συναρτήσεων τύπου ζήτα. Κλείνουμε το κεφάλαιο αυτό εκφράζοντας μια πιθανή μη-αβελιανή γενίκευση του ολοκληρωτικού τύπου του Gauss για τη διασταύρωση κρίκων μέσω ολοκληρωμάτων τροχιάς στη Φυσική. Με βάση τα παραπάνω, η σχέση αυτή αναμένεται να αντιστοιχεί σε μη-μεταθετικούς νόμους αντιστροφής. Στο δεύτερο κεφάλαιο, μελετάμε ακριβώς μια τέτοια περίπτωση παρουσιάζοντας τις παρατηρήσεις του Kapranov για την ύπαρξη δομικών αναλογιών μεταξύ της αντιστοιχίας Langlands υψηλοτέρων διαστάσεων και των εκτεταμένων τοπολογικών κβαντικών θεωρίων πεδίου. Η ανάλυση αυτή πραγματοποιείται μέσω μιας πιο φυσικής γλώσσας, αυτή των κατηγοριών Waldhausen, κάνοντας περαιτέρω χρήση εννοιών από το οπλοστάσιο ανωτέρων Κατηγοριών και Ομοτοπικής Άλγεβρας. Ως μια βαθιά εφαρμογή αυτού του κύκλου ιδεών, παρουσιάζεται η αναλογία μεταξύ πολλαπλοτήτων Shimura και ολοκληρωμάτων Feynman. Αναπτύσσονται επίσης παρεμφερείς έννοιες της Κβαντικής Τοπολογίας και συζητάται η σχέση τους με την παραπάνω δυϊκότητα. Στο τρίτο και τελευταίο μέρος, χρησιμοποιούμε αποτελέσματα από τα δύο προηγούμενα κεφάλαια, προκειμένου να εξετάσουμε την πιθανότητα μιας αντίστροφης κατεύθυνσης και πιο συγκεκριμένα τη μεταφορά ιδεών από τις σύγχρονες κατασκευές της κβαντικής φυσικής στον κλάδο της θεωρίας αριθμών. Ιδιαιτέρως, ενδιαφερόμαστε για τη δυνατότητα ύπαρξης κβαντικών αναλλοιώτων στην αριθμητική που θα κωδικοποιούν σημαντικές επιπρόσθετες πληροφορίες αντικειμένων στην αριθμητική γεωμετρία και δη για την θεωρία τομής αριθμητικών σχημάτων Arakelov που έχουν εξέχον αριθμοθεωρητικό ενδιαφέρον. Ως εκ τούτου, περιγράφουμε μια πρόσφατη προσπάθεια να κατασκευασθεί μια τέτοια θεωρία βαθμίδας για τη θεωρία αριθμών και διατυπώνουμε πιθανές κατευθύνσεις για τη γενίκευση της.

Θετικές Επιστήμες

Αλγεβρική Γεωμετρία, Θεωρία Αριθμών, Μαθηματική Φυσική, Τοπολογία χαμηλών διαστάσεων

Ναι

2

Ναι

110

127

Δεν επιτρέπεται η πρόσβαση στο αρχείο. H πρόσβαση επιτρέπεται μόνο εντός του δικτύου του ΕΚΠΑ.

https://pergamos.lib.uoa.gr/uoa/dl/object/1934046