Προβλήματα Γεωμετρικής Συναρτησιακής Ανάλυσης

Διδακτορική Διατριβή uoadl:2928553 87 Αναγνώσεις

Μονάδα:
Τμήμα Μαθηματικών
Βιβλιοθήκη Σχολής Θετικών Επιστημών
Ημερομηνία κατάθεσης:
2020-11-17
Έτος εκπόνησης:
2020
Συγγραφέας:
Σκαρμόγιαννης Νικόλαος
Στοιχεία επταμελούς επιτροπής:
Γιαννόπουλος Απόστολος (Επιβλέπων)
Καθηγητής, τμήμα Μαθηματικών, Ε.Κ.Π.Α.

Γατζούρας Δημήτριος (Συμβουλευτική και Εξεταστική επιτροπή)
Καθηγητής,τμήμα Μαθηματικών,Ε.Κ.Π.Α.

Μερκουράκης Σοφοκλής (Συμβουλευτική και Εξεταστική επιτροπή)
Καθηγητής,τμήμα Μαθηματικών,Ε.Κ.Π.Α.

Δοδός-Ντοντός Παντελεήμων (Εξεταστική επιτροπή)
Αναπληρωτής καθηγητής, τμήμα Μαθηματικών, Ε.Κ.Π.Α.


Κανελλόπουλος Βασίλειος (Εξεταστική επιτροπή)
Αναπληρωτής Καθηγητής, Σ.Ε.Μ.Φ.Ε., Ε.Μ.Π.

Τσολομύτης Αντώνιος (Εξεταστική επιτροπή)
Καθηγητής,τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου

Χελιώτης Δημήτριος (Εξεταστική επιτροπή)
Αναπληρωτής καθηγητής, τμήμα Μαθηματικών, Ε.Κ.Π.Α.
Πρωτότυπος Τίτλος:
Προβλήματα Γεωμετρικής Συναρτησιακής Ανάλυσης
Γλώσσες διατριβής:
Ελληνικά
Μεταφρασμένος τίτλος:
Προβλήματα Γεωμετρικής Συναρτησιακής Ανάλυσης
Περίληψη:
Συνδυάζοντας πιθανοθεωρητικές τεχνικές με γεωμετρικά και αναλυτικά
εργαλεία, στην παρούσα διατριβή ασχολούμαστε με έναν αριθμό προβλημάτων
που εμπίπτουν στον ευρύτερο κλάδο της Γεωμετρικής Συναρτησιακής Ανάλυσης.
Βασικός άξονας είναι η μελέτη των ιδιοτήτων των (συμμετρικών) κυρτών
σωμάτων του Ευκλείδειου χώρου από την ασυμπτωτική σκοπιά, θεωρώντας δηλαδή
ότι η διάσταση n του υποκείμενου χώρου τείνει στο άπειρο. Ακολουθεί μια
συνοπτική περιγραφή των αποτελεσμάτων της διατριβής.

1. Προβλήματα εξισορρόπησης διανυσμάτων. Αποδεικνύουμε μια βελτιωμένη
εκδοχή ενός αποτελέσματος του D. Hajela που σχετίζεται με ένα πολύ γνωστό
πρόβλημα του Komlos. Στη συνέχεια γενικεύουμε αυτό το αποτέλεσμα για
ανεξάρτητα τυχαία σημεία τα οποία είναι ομοιόμορφα κατανεμημένα στην
Ευκλείδεια μοναδιαία μπάλα ή οποιοδήποτε συμμετρικό κυρτό σώμα, και για
τυχούσα νόρμα.

2. Αθροίσματα λογαριθμικά κοίλων τυχαίων διανυσμάτων με βάρη.
Αποδεικνύουμε άνω φράγματα για τη μέση τιμή της νόρμας σταθμισμένου
αθροίσματος ανεξάρτητων τυχαίων διανυσμάτων με κατανομή ισοτροπικό
λογαριθμικά κοίλο μέτρο πιθανότητας, απαντώντας σε ένα πρόβλημα του V.
Milman. Παρουσιάζουμε επίσης εφαρμογές σε "τυχαιοποιημένες" εκδοχές
προβλημάτων εξισορρόπησης διανυσμάτων.

3. Τυχαία κυρτά σύνολα. Μελετάμε δύο κλάσεις τυχαίων κυρτών συνόλων και
δίνουμε άνω και κάτω φράγματα για τη μέση τιμή του όγκου τους.

4. Αφφινικά quermassintegrals τυχαίων πολυτόπων. Επαληθεύουμε, από την
ασυμπτωτική σκοπιά, μια σχετική εικασία του Lutwak για κάποιες ευρείες
κλάσεις τυχαίων πολυτόπων.

5. Ο συμμετρικός μέσος και η MM*-ανισότητα για ισοτροπικά κυρτά σώματα.
Συζητάμε δύο γνωστά ανοικτά προβλήματα από την ασυμπτωτική κυρτή
γεωμετρία. Το πρώτο πρόβλημα αφορά εκτιμήσεις για τον συμμετρικό μέσο
sav(K) ενός κυρτού σώματος K, ενώ το δεύτερο αφορά άνω φράγματα για το
μέσο πλάτος και τη μέση νόρμα ενός ισοτροπικού κυρτού σώματος. Δίνουμε
απλούστερες αποδείξεις για τα καλύτερα μέχρι στιγμής γνωστά αποτελέσματα.
Κύρια θεματική κατηγορία:
Θετικές Επιστήμες
Λέξεις-κλειδιά:
Λογαριθμικά κοίλα μέτρα πιθανότητας, Κυρτά Σώματα, Ισοτροπική Σταθερά, Τυχαία Πολύτοπα, Προβλήματα εξισορρόπησης διανυσμάτων, Εικασία του Kömlos
Ευρετήριο:
Όχι
Αρ. σελίδων ευρετηρίου:
0
Εικονογραφημένη:
Όχι
Αρ. βιβλιογραφικών αναφορών:
115
Αριθμός σελίδων:
134
Skarmogiannis-PHD-2020.pdf (1 MB) Άνοιγμα σε νέο παράθυρο