Δράσεις ομάδων σε συμπλεκτικές πολλαπλότητες

Διπλωματική Εργασία uoadl:1317027 308 Αναγνώσεις

Μονάδα:
Κατεύθυνση Θεωρητικά Μαθηματικά
Βιβλιοθήκη Σχολής Θετικών Επιστημών
Ημερομηνία κατάθεσης:
2013-07-11
Έτος εκπόνησης:
2013
Συγγραφέας:
Χρήστου Παναγιώτης
Στοιχεία επιβλεπόντων καθηγητών:
Διονύσιος Λάππας Αναπλ. Καθηγητής ΕΚΠΑ (επιβλέπων), Ιάκωβος Ανδρουλιδάκης Επίκ. Καθηγητής ΕΚΠΑ, Αντώνιος Μελάς Καθηγητής ΕΚΠΑ
Πρωτότυπος Τίτλος:
Δράσεις ομάδων σε συμπλεκτικές πολλαπλότητες
Γλώσσες εργασίας:
Ελληνικά
Μεταφρασμένος τίτλος:
Group actions on symplectic manifolds
Περίληψη:
Στην εργασία αυτή θα ασχοληθούμε με δράσεις ομάδων Lie σε συμπλεκτικές
πολλαπλότητες. Μια συμπλεκτική πολλαπλότητα είναι ένα ζεύγος (M,ω, με τη M να
είναι διαφορική πολλαπλότητα και την ω μια μη εκφυλισμένη και κλειστή 2-μορφή
στην M. Οι δράσεις μου μας ενδιαφέρουν είναι οι λεγόμενες συμπλεκτικές, δηλαδή
αυτές που διατηρούν την ω. Μάλιστα τα βασικά μας αποτελέσματα θα αφορούν μια
ειδικότερη κατηγορία δράσεων, τις λεγόμενες χαμιλτονιανές, που όπως μαρτυρά και
το όνομά τους έχουν άμεση σχέση με την Κλασσική Μηχανική και τα χαμιλτονιανά
πεδία. Για τον ορισμό των χαμιλτονιανών δράσεων χρειαζόμαστε την έννοια της
απεικόνισης ορμής που είναι μια γενίκευση της χαμιλτονιανής συνάρτησης της
Κλασσικής Μηχανικής.
Στο πρώτο κεφάλαιο θα παρουσιάσουμε τους βασικούς ορισμούς και μερικά χρήσιμα
αποτελέσματα της Συμπλεκτική Γεωμετρίας. Αρχικά θα μελετήσουμε συμπλεκτικούς
γραμμικούς χώρους και έπειτα θα ασχοληθούμε με τις συμπλεκτικές πολλαπλότητες.
Το βασικό θεώρημα του κεφαλαίου αυτού είναι το Θεώρημα του Darboux. Αυτό είναι
ένα πολύ βασικό θεώρημα της Συμπλεκτικής Γεωμετρίας, το οποίο λέει ότι όλες οι
συμπλεκτικές πολλαπλότητες ίδιας διάστασης είναι τοπικά ίδιες. Άρα σε αντίθεση
με τη Γεωμετρία Riemann, όπου έχουμε την καμπυλότητα, στη Συμπλεκτική Γεωμετρία
δεν υπάρχουν τοπικές αναλλοίωτες. Για το Θεώρημα Darboux θα δώσουμε δύο
αποδείξεις.
Στο δεύτερο κεφάλαιο θα μελετήσουμε γενικά τις δράσεις ομάδων Lie σε
πολλαπλότητες. Αφού κάνουμε μια γρήγορη εισαγωγή στις ομάδες Lie, θα
μελετήσουμε δράσεις τους που είναι ελεύθερες και γνήσιες. Το βασικό αποτέλεσμα
που ισχύει για αυτές της δράσεις είναι ότι ο χώρος των τροχιών δέχεται και
αυτός δομή διαφορικής πολλαπλότητας με φυσιολογικό τρόπο. Έπειτα θα μελετήσουμε
δράσεις με μοναδική υπόθεση ότι είναι γνήσιες.
Στο τρίτο κεφάλαιο ασχολούμαστε με ελεύθερες και γνήσιες χαμιλτονιανές δράσεις.
Αποδεικνύουμε το λεγόμενο Θεώρημα Συμπλεκτικής Αναγωγής των
Marsden-Weinstein-Meyer, το οποίο λέει ότι με τις παραπάνω προϋποθέσεις ο χώρος
των τροχιών της δράσης είναι με φυσιολογικό τρόπο και αυτός συμπλεκτική
πολλαπλότητα. Η διαδικασία της συμπλεκτικής αναγωγής είναι μια γενίκευση της
μεθόδου της Κλασσικής Μηχανικής, όπου όταν έχουμε μεγέθη που διατηρούνται πάνω
στις τροχιές, μπορούμε να μειώσουμε τον αριθμό των εξισώσεων της κίνησης.
Στο κεφάλαιο τέσσερα θα δούμε τη χαμιλτονιανή δράση του τόρου σε μια συμπαγή
και συνεκτική συμπλεκτική πολλαπλότητα. Αποδεικνύεται πως τότε η εικόνα της
απεικόνισης ορμής είναι ένα κυρτό πολύτοπο. Το αποτέλεσμα αυτό είναι γνωστό ως
Θεώρημα Κυρτότητας των Atiyah-Guillemin-Sternberg.
Στο πέμπτο κεφάλαιο ασχολούμαστε πάλι με τη συμπλεκτική αναγωγή μιας
πολλαπλότητας, αλλά τώρα με μόνη υπόθεση για τη δράση ότι είναι γνήσια. Στην
περίπτωση αυτή ο χώρος των τροχιών δεν είναι απαραίτητα πολλαπλότητα αλλά
υπάρχει μια διάσπασή του σε συμπλεκτικές πολλαπλότητες.
Λέξεις-κλειδιά:
Χαμιλτονιανές δράσεις, Απεικόνιση ορμής, Συμπλεκτική αναγωγή, Θεώρημα κυρτότητας, Συμπλεκτικά στρώματα
Ευρετήριο:
Όχι
Αρ. σελίδων ευρετηρίου:
0
Εικονογραφημένη:
Όχι
Αρ. βιβλιογραφικών αναφορών:
38
Αριθμός σελίδων:
118