Τα μαθηματικά της Υπολογιστικής Τομογραφίας

Διπλωματική Εργασία uoadl:1320330 683 Αναγνώσεις

Μονάδα:
Κατεύθυνση Εφαρμοσμένα Μαθηματικά
Βιβλιοθήκη Σχολής Θετικών Επιστημών
Ημερομηνία κατάθεσης:
2013-04-05
Έτος εκπόνησης:
2013
Συγγραφέας:
Χανδρή Ευαγγελία
Στοιχεία επιβλεπόντων καθηγητών:
Στρατής Ιωαν. Καθηγ. (Επιβλέπων) Αθανασιάδης Χρισ. Καθηγ., Μπαρμπάτης Γερ. Αναπλ. Καθηγ.
Πρωτότυπος Τίτλος:
Τα μαθηματικά της Υπολογιστικής Τομογραφίας
Γλώσσες εργασίας:
Ελληνικά
Μεταφρασμένος τίτλος:
"The mathematics of computerized tomography".
Περίληψη:
Αυτή η διπλωματική εργασία πραγματοποιήθηκε στο πλαίσιο του Προγράμματος
Μεταπτυχιακών Σπουδών (Κατεύθυνση Εφαρμοσμένων Μαθηματικών) του Τμήματος
Μαθηματικών του Εθνικού και Καποδιστριακού Πανεπιστημίου Αθηνών. Σκοπός της
είναι η μελέτη των μαθηματικών εργαλείων που χρειάζεται κάποιος για να
καταλάβει τη θεωρία και τους αλγορίθμους της Υπολογιστικής Τομογραφίας.
Με τον όρο Αξονική Τομογραφία ή Υπολογιστική Τομογραφία εννοούμε τον
ανασχηματισμό μιας συνάρτησης από το σύνολο των ολοκληρωμάτων της κατά μήκος
γραμμών ή επιπέδων. Αυτό το μαθηματικό πρόβλημα συναντάται σε πολλές εφαρμογές
στους τομείς της ιατρικής, της επιστήμης και της τεχνολογίας, με πιο σημαντική
στη διαγνωστική ακτινολογία. Στο πρώτο κεφάλαιο αυτής της εργασίας περιγράφουμε
τη γενική θεωρία και εξετάζουμε μερικές φυσικές αρχές που οδηγούν στην
Υπολογιστική Τομογραφία.
Στο δεύτερο κεφάλαιο εισάγουμε διάφορους ολοκληρωτικούς μετασχηματισμούς, με
πιο σημαντικό το μετασχηματισμό Radon. Αναλυτικότερα, δίνουμε σχέσεις και
θεωρήματα που τον συνδέουν με τους υπόλοιπους μετασχηματισμούς, καθώς και τους
ορισμούς των δυϊκών μετασχηματισμών, που είναι χρήσιμοι για τους τύπους
αντιστροφής. Επίσης, ασχολούμαστε με θέματα μοναδικότητας και ευστάθειας, καθώς
και με τα πεδία τιμών των μετασχηματισμών.
Στο τρίτο κεφάλαιο θέλουμε να δειγματοποιήσουμε τους μετασχηματισμούς Radon και
Fourier για μερικές συναρτήσεις, οι οποίες είναι ουσιαστικά απροσδιόριστες για
πεπερασμένο πλήθος κατευθύνσεων, ακόμα και στην ημι-διακριτή περίπτωση. Χρήσιμα
αποτελέσματα αποδεικνύονται για συναρτήσεις περιορισμένες σε ζώνη,με τις
ιδιότητες των οποίων ασχολούμαστε στην πρώτη παράγραφο αυτού του κεφαλαίου. Στη
δεύτερη παράγραφο εξετάζουμε την πιθανή ανάλυση του μετασχηματισμού Radon για
πεπερασμένα πολλές κατευθύνσεις.
Στο τέταρτο κεφάλαιο θα περιγράψουμε αναλυτικά κάποιους αλγορίθμους
ανασχηματισμού. Θα ξεκινήσουμε με τον ευρέως γνωστό αλγόριθμο filtered
backprojection και θα μελετήσουμε την πιθανή λύση. Στη δεύτερη ενότητα θα
δώσουμε μία ανάλυση σφάλματος του αλγορίθμου Fourier ο οποίος οδηγεί σε ένα
βελτιωμένο αλγόριθμο, συγκρίσιμο σε ακρίβεια με τον filtered backprojection.
Λέξεις-κλειδιά:
Υπολογιστική Τομογραφία, Ολοκλήρωμα Radon, Μετασχηματισμοί, Συναρτήσεις περιορισμένες σε ζώνη, Αλγόριθμοι
Ευρετήριο:
Όχι
Αρ. σελίδων ευρετηρίου:
0
Εικονογραφημένη:
Ναι
Αρ. βιβλιογραφικών αναφορών:
7
Αριθμός σελίδων:
72