Hardy and Rellich Inequalities on Riemannian Manifolds

Διπλωματική Εργασία uoadl:2750722 209 Αναγνώσεις

Μονάδα:
Κατεύθυνση Εφαρμοσμένα Μαθηματικά
Βιβλιοθήκη Σχολής Θετικών Επιστημών
Ημερομηνία κατάθεσης:
2018-04-27
Έτος εκπόνησης:
2018
Συγγραφέας:
Πασχάλης Μιλτιάδης
Στοιχεία επιβλεπόντων καθηγητών:
Γεράσιμος Μπαρμπάτης, Καθηγητής, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ
Πρωτότυπος Τίτλος:
Hardy and Rellich Inequalities on Riemannian Manifolds
Γλώσσες εργασίας:
Αγγλικά
Μεταφρασμένος τίτλος:
Ανισότητες Hardy και Rellich σε Πολλαπλότητες Riemann
Περίληψη:
Η παρούσα μεταπτυχιακή διπλωματική εργασία ασχολείται με ανισότητες τύπου Hardy και Rellich σε πολλαπλότητες Riemann.
Η πρώτη ενότητα εξυπηρετεί ως μια σύντομη εισαγωγή στη θεωρία των Διαφορικών Πολλαπλοτήτων και στη Γεωμετρία των Πολλα-πλοτήτων Riemann. Η εισαγωγή αυτή είναι φυσικά κάθε άλλο παρά πλήρης, αλλά καλύπτει όλες τις απαραίτητες για τους σκοπούς της εργασίας έννοιες, με τρόπο προσβάσιμο σε έναν αναγνώστη που διαθέτει βασικές γνώσεις Γραμμικής Άλγεβρας, Απειροστικού Λογισμού πολλών μεταβλητών και Πραγματικής Ανάλυσης/Θεωρίας Μέτρου.
Η δεύτερη ενότητα ασχολείται με ανισότητες Hardy και Rellich σε Ευκλείδειους χώρους. Εδώ ο στόχος είναι περισσότερο η ανάπτυξη της γενικής μεθοδολογίας που ακολουθεί κανείς για να αποδείξει τέτοιου τύπου ανισότητες, δεδομένου ότι αυτή παραμένει σε μεγάλο βαθμό αναλλοίωτη κατά τη γενίκευση σε πολλαπλότητες Riemann, καθώς και η εξοικείωση του αναγνώστη με την “κουλτούρα” του θέματος. Η έμφαση δίνεται περισσότερο στις πιο γενικές Lp ανισότητες. Τέλος, παρουσιάζεται η Αρχή της Αβεβαιότητας ως μια σημαντική παραλλαγή αυτού του τύπου ανισοτήτων.
Στην τρίτη ενότητα αναπτύσσονται κάποια πρόσφατα αποτελέσματα που αφορούν ανισότητες Hardy και Rellich σε επίπεδο πολλαπλοτήτων Riemann. Συγκεκριμένα, στην 3.1 παρουσιάζονται κάποιες ανισότητες με βάρη που που προκύπτουν από p-υπεραρμονικές συναρτήσεις, οι οποίες στη συνέχεια χρησιμοποιούνται για τον χαρακτηρισμό των p-υπερβολικών πολλαπλοτήτων, εδραιώνοντας έτσι μια αντιστοιχία ανά-μεσα σε μια αναλυτική και μια γεωμετρική ιδιότητα. Στην 3.2 παρουσιάζονται κάποια αποτελέσματα για ανισότητες Rellich σε πολλαπλότητες, και στην 3.3 γίνεται το ίδιο για αρχές αβεβαιότητας.
Τέλος, στην τέταρτη ενότητα παρουσιάζεται ένας τρόπος γενί-κευσης τέτοιων ανισοτήτων (Hardy, αρχών αβεβαιότητας και άλλων παρόμοιων) για διανυσματικά πεδία.
Κύρια θεματική κατηγορία:
Θετικές Επιστήμες
Λέξεις-κλειδιά:
ανισότητες Hardy, ανισότητες Rellich, πολλαπλότητες, ανάλυση, διαφορική γεωμετρία
Ευρετήριο:
Όχι
Αρ. σελίδων ευρετηρίου:
0
Εικονογραφημένη:
Όχι
Αρ. βιβλιογραφικών αναφορών:
13
Αριθμός σελίδων:
49
Hardy and Rellich Inequalities on Riemannian Manifolds.pdf (349 KB) Άνοιγμα σε νέο παράθυρο