Στοιχεία επιβλεπόντων καθηγητών:
Γ. Μπαρμπάτης Αναπληρωτής Καθηγητής ΕΚΠΑ (Επιβλέπων), Ι. Στρατής Καθηγητής ΕΚΠΑ, Λ. Ευαγγελάτου-Δάλλα Αναπληρώτρια Καθηγήτρια ΕΚΠΑ
Περίληψη:
Στην εργασία αυτή, δίνουμε μια εισαγωγή στην θεωρία της συμμετρικοποίησης
Schwarz και στην συνέχεια μελετάμε τις εφαρμογές της σε προβλήματα μερικών
διαφορικών εξισώσεων.
Ειδικότερα, κατασκευάζουμε την συμμετρικοποίηση Schwarz μιας πραγματικής
συνάρτησης u, ορισμένης σε ένα φραγμένο χωρίο Ω του Ν-διάστατου Ευκλείδειου
χώρου.
Η συμμετρικοποίηση Schwarz της u, που συμβολίζεται με u*, είναι ορισμένη στην
μπάλα με κέντρο της αρχή των αξόνων και όγκο ίσο με αυτόν του χωρίου, και
κατασκευάζεται μέσω της φθίνουσας αναδιάταξης της u. Στη συνέχεια αποδεικνύουμε
ότι για 1 p η συμμετρικοποίσηση Schwarz διατηρεί τις Lp νόρμες, ενώ για
τις Lp νόρμες της κλίσης της u και της κλίσης της u* αντίστοιχα, αποδεικνύεται
η ανισότητα Polya-Szego:
|| u* || Lp(Ω*) || u || Lp(Ω).
Βασικό εργαλείο για την απόδειξη της ανισότητας αυτής, και γενικότερα για όλη
την εργασία, αποτελεί η ισοπεριμετρική ανισότητα.
Στη συνέχεια ασχολούμαστε με την ανισότητα Faber-Krahn σε ευκλείδειους χώρους.
Αποδεικνύεται, λοιπόν, η ανισότητα Faber-Krahn, δηλαδή ότι από όλα τα σύνολα
που έχουν τον ίδιο όγκο, η μπάλα, και μόνο αυτή, ελαχιστοποιεί την πρώτη
ιδιοτιμή του τελεστή Laplace με συνοριακές συνθήκες Dirichlet:
λ1 (Ω) λ1 (Ω*).
Επεκτείνουμε, τέλος, την έννοια της ανισότητας Faber-Krahn και σε πολλαπλότητες
Riemann και αποδεικνύουμε ότι είναι ισοδύναμη με άλλες γνωστές συναρτησιακές
ανισότητες, όπως η ανισότητα Nash.
Λέξεις-κλειδιά:
Αναδιατάξη, Συμμετρικοποίηση Schwarz , Ανισότητα Feber-Krahn, Ισοπεριμετρική Ανισότητα, Ανισότητα Polya-Szego
