Nonconvex Optimization Algorithms for Structured Matrix Estimation in Large-Scale Data Applications

Διδακτορική Διατριβή uoadl:2778669 141 Αναγνώσεις

Μονάδα:
Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών
Πληροφορική
Ημερομηνία κατάθεσης:
2018-12-05
Έτος εκπόνησης:
2018
Συγγραφέας:
Γιαμπουράς Παρασκευάς
Στοιχεία επταμελούς επιτροπής:
Αθανάσιος Ροντογιάννης, Διευθυντής Ερευνών, Εθνικό Αστεροσκοπείο Αθηνών
Κωνσταντίνος Κουτρούμπας, Διευθυντής Ερευνών, Εθνικό Αστεροσκοπείο Αθηνών
Σέργιος Θεοδωρίδης, Καθηγητής, Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, ΕΚΠΑ
Πέτρος Μαραγκός, Καθηγητής, Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ, ΕΜΠ
Νικόλαος Καλουπτσίδης, Καθηγητής, Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, ΕΚΠΑ
Κωνσταντίνος Μπερμπερίδης, Καθηγητής, Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών
Ελευθέριος Κοφίδης, Αναπληρωτής Καθηγητής, Τμήμα Στατιστικής Και Aσφαλιστικής Eπιστήμης, Πανεπιστήμιο Πειραιώς
Πρωτότυπος Τίτλος:
Nonconvex Optimization Algorithms for Structured Matrix Estimation in Large-Scale Data Applications
Γλώσσες διατριβής:
Αγγλικά
Μεταφρασμένος τίτλος:
Αλγόριθμοι Μη-Κυρτής Βελτιστοποίησης για την Εκτίμηση Δομημένων Πινάκων σε Εφαρμογές Δεδομένων Μεγάλης Κλίμακας
Περίληψη:
Το πρόβλημα της εκτίμησης δομημένου πίνακα ανήκει στην κατηγορία των προβλημάτων εύρεσης αναπαραστάσεων χαμηλής διάστασης (low-dimensional embeddings) σε
δεδομένα υψηλής διάστασης. Στις μέρες μας συναντάται σε μια πληθώρα εφαρμογών
που σχετίζονται με τις ερευνητικές περιοχές της επεξεργασίας σήματος και της μηχανικής
μάθησης. Στην παρούσα διατριβή προτείνονται νέοι μαθηματικοί φορμαλισμοί σε τρία
διαφορετικά προβλήματα εκτίμησης δομημένων πινάκων από δεδομένα μεγάλης κλίμακας.
Πιο συγκεκριμένα, μελετώνται τα ερευνητικά προβλήματα α) της εκτίμησης πίνακα που
είναι ταυτόχρονα αραιός, χαμηλού βαθμού και μη-αρνητικός, β) της παραγοντοποίησης
πίνακα χαμηλού βαθμού, και γ) της ακολουθιακής (online) εκτίμησης πίνακα υποχώρου
(subspace matrix) χαμηλού βαθμού από ελλιπή δεδομένα. Για όλα τα προβλήματα αυτά
προτείνονται καινoτόμοι και αποδοτικοί αλγόριθμοι βελτιστοποίησης (optimization algorithms). Βασική υπόθεση που υιοθετείται σε κάθε περίπτωση είναι πως τα δεδομένα έχουν
παραχθεί με βάση ένα γραμμικό μοντέλο. Το σύνολο των προσεγγίσεων που ακολουθούνται χαρακτηρίζονται από μη-κυρτότητα. Όπως γίνεται φανερό στην παρούσα διατριβή, η
ιδιότητα αυτή, παρά τις δυσκολίες που εισάγει στην θεωρητική τεκμηρίωση των προτεινόμενων μεθόδων (σε αντίθεση με τις κυρτές προσεγγίσεις στις οποίες η θεωρητική ανάλυση
είναι σχετικά ευκολότερη), οδηγεί σε σημαντικά οφέλη όσον αφορά την απόδοσή τους σε
πλήθος πραγματικών εφαρμογών.

Για την εκτίμηση πίνακα που είναι ταυτόχρονα αραιός, χαμηλού βαθμού και μη-αρνητικός,
προτείνονται στην παρούσα διατριβή τρεις νέοι αλγόριθμοι, από τους οποίους οι δύο
πρώτοι ελαχιστοποιούν μια κοινή συνάρτηση κόστους και ο τρίτος μια ελαφρώς διαφορετική συνάρτηση κόστους. Κοινό χαρακτηριστικό και των δύο αυτών συναρτήσεων είναι
ότι κατά βάση αποτελούνται από έναν όρο προσαρμογής στα δεδομένα και δύο όρους
κανονικοποίησης, οι οποίοι χρησιμοποιούνται για την επιβολή αραιότητας και χαμηλού
βαθμού, αντίστοιχα. Στην πρώτη περίπτωση αυτό επιτυγχάνεται με την αξιοποίηση του
αθροίσματος της επανασταθμισμένης l1 νόρμας (reweighted l1 norm) και της επανασταθμισμένης πυρηνικής νόρμας (reweighted nuclear norm), οι οποίες ευθύνονται για το μη-
κυρτό χαρακτήρα της προκύπτουσας συνάρτησης κόστους. Από τους δύο προτεινόμενους αλγορίθμους που ελαχιστοποιούν τη συνάρτηση αυτή, ο ένας ακολουθεί τη μέθοδο
καθόδου σταδιακής εγγύτητας και ο άλλος βασίζεται στην πιο απαιτητική υπολογιστικά
μέθοδο ADMM. Η δεύτερη συνάρτηση κόστους διαφοροποιείται σε σχέση με την πρώτη
καθώς χρησιμοποιεί μια προσέγγιση παραγοντοποίησης για τη μοντελοποίηση του χαμηλού βαθμού του δομημένου πίνακα. Επιπλέον, λόγω της μη εκ των προτέρων γνώσης του
πραγματικού βαθμού, ενσωματώνει έναν όρο επιβολής χαμηλού βαθμού, μέσω της μη-
κυρτής έκφρασης που έχει προταθεί ως ένα άνω αυστηρό φράγμα της (κυρτής) πυρηνικής
νόρμας (σ.σ. στο εξής θα αναφέρεται ως εναλλακτική μορφή της πυρηνικής νόρμας). Και
στην περίπτωση αυτή, το πρόβλημα που προκύπτει είναι μη-κυρτό λόγω του φορμαλισμού
του μέσω της παραγοντοποίησης πίνακα, ενώ η βελτιστοποίηση πραγματοποιείται εφαρμόζοντας μια υπολογιστικά αποδοτική μέθοδο καθόδου συνιστωσών ανά μπλοκ (block
coordinate descent). Tο σύνολο των προτεινόμενων σχημάτων χρησιμοποιείται για τη
μοντελοποίηση, με καινοτόμο τρόπο, του προβλήματος φασματικού διαχωρισμού υπερφασματικών εικόνων (ΥΦΕ). Όπως εξηγείται αναλυτικά, τόσο η αραιότητα όσο και ο χαμηλός βαθμός παρέχουν πολύτιμες ερμηνείες ορισμένων φυσικών χαρακτηριστικών των ΥΦΕ, όπως π.χ. η χωρική συσχέτιση. Πιο συγκεκριμένα, η αραιότητα και ο χαμηλός βαθμός μπορούν να υιοθετηθούν ως δομές στον πίνακα αφθονίας (abundance matrix - ο πίνακας που περιέχει τα ποσοστά παρουσίας των υλικών στην περιοχή που απεικονίζει κάθε εικονοστοιχείο). Τα σημαντικά πλεονεκτήματα που προσφέρουν οι προτεινόμενες τεχνικές, σε σχέση με ανταγωνιστικούς αλγορίθμους, αναδεικνύονται σε ένα πλήθος διαφορετικών πειραμάτων που πραγματοποιούνται τόσο σε συνθετικά όσο και σε αληθινά
υπερφασματικά δεδομένα.

Στο πλαίσιο της παραγοντοποίησης πίνακα χαμηλού βαθμού (low-rank matrix factorization) περιγράφονται στη διατριβή τέσσερις νέοι αλγόριθμοι, ο καθένας εκ των οποίων
έχει σχεδιαστεί για μια διαφορετική έκφανση του συγκεκριμένου προβλήματος. Όλα τα
προτεινόμενα σχήματα έχουν ένα κοινό χαρακτηριστικό: επιβάλλουν χαμηλό βαθμό στους
πίνακες-παράγοντες καθώς και στο γινόμενό τους με την εισαγωγή ενός νέου όρου κανονικοποίησης. Ο όρος αυτός προκύπτει ως μια γενίκευση της εναλλακτικής έκφρασης της
πυρηνικής νόρμας με τη μετατροπή της σε σταθμισμένη μορφή. Αξίζει να επισημανθεί
πως με κατάλληλη επιλογή των πινάκων στάθμισης καταλήγουμε σε μια ειδική έκφραση
της συγκεκριμένης νόρμας η οποία ανάγει την διαδικασία επιβολής χαμηλού βαθμού σε
αυτή της από κοινού επιβολής αραιότητας στις στήλες των δύο πινάκων. Όπως αναδεικνύεται αναλυτικά, η ιδιότητα αυτή είναι πολύ χρήσιμη ιδιαιτέρως σε εφαρμογές διαχείρισης
δεδομένων μεγάλης κλίμακας. Στα πλαίσια αυτά μελετώνται τρία πολύ σημαντικά προβλήματα στο πεδίο της μηχανικής μάθησης και συγκεκριμένα αυτά της αποθορυβοποίησης
σήματος (denoising), πλήρωσης πίνακα (matrix completion) και παραγοντοποίησης μη-αρνητικού πίνακα (nonnegative matrix factorization). Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο ελαχιστοποίησης άνω φραγμάτων συναρτήσεων διαδοχικών μπλοκ (block successive upper
bound minimization) αναπτύσσονται τρεις νέοι επαναληπτικά σταθμισμένοι αλγόριθμοι τύπου Newton, οι οποίοι σχεδιάζονται κατάλληλα, λαμβάνοντας υπόψη τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά του εκάστοτε προβλήματος. Τέλος, παρουσιάζεται αλγόριθμος παραγοντοποίησης πίνακα ο οποίος έχει σχεδιαστεί πάνω στην προαναφερθείσα ιδέα επιβολής χαμηλού
βαθμού, υποθέτοντας παράλληλα αραιότητα στον ένα πίνακα-παράγοντα. Η επαλήθευση
της αποδοτικότητας όλων των αλγορίθμων που εισάγονται γίνεται με την εφαρμογή τους
σε εκτεταμένα συνθετικά πειράματα, όπως επίσης και σε εφαρμογές πραγματικών δεδομένων μεγάλης κλίμακας π.χ. αποθορυβοποίηση ΥΦΕ, πλήρωση πινάκων από συστήματα
συστάσεων (recommender systems) ταινιών, διαχωρισμός μουσικού σήματος και τέλος
μη-επιβλεπόμενος φασματικός διαχωρισμός.

Το τελευταίο πρόβλημα το οποίο διαπραγματεύεται η παρούσα διατριβή είναι αυτό της
ακολουθιακής εκμάθησης υποχώρου χαμηλού βαθμού και της πλήρωσης πίνακα. Το
πρόβλημα αυτό εδράζεται σε ένα διαφορετικό πλαίσιο μάθησης, την επονομαζόμενη ακολουθιακή μάθηση, η οποία αποτελεί μια πολύτιμη προσέγγιση σε εφαρμογές δεδομένων
μεγάλης κλίμακας, αλλά και σε εφαρμογές που λαμβάνουν χώρα σε χρονικά μεταβαλλόμενα περιβάλλοντα. Στην παρούσα διατριβή προτείνονται δύο διαφορετικοί αλγόριθμοι,
ένας μπεϋζιανός και ένας ντετερμινιστικός. Ο πρώτος αλγόριθμος προκύπτει από την
εφαρμογή μιας καινοτόμου ακολουθιακής μεθόδου συμπερασμού βασισμένου σε μεταβολές. Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται για την πραγματοποίηση προσεγγιστικού συμπερασμού στο προτεινόμενο ιεραρχικό μπεϋζιανό μοντέλο. Αξίζει να σημειωθεί πως το μοντέλο
αυτό έχει σχεδιαστεί με κατάλληλο τρόπο έτσι ώστε να ενσωματώνει, σε πιθανοτικό πλαίσιο, την ίδια ιδέα επιβολής χαμηλού βαθμού που προτείνεται για το πρόβλημα παραγοντοποίησης πίνακα χαμηλού βαθμού, δηλαδή επιβάλλοντας από-κοινού αραιότητα στους
πίνακες-παράγοντες. Ωστόσο, ακολουθώντας την πιθανοτική προσέγγιση, αυτό πραγματοποιείται επιβάλλοντας πολύ-επίπεδες a priori κατανομές Laplace στις στήλες τους.
Ο αλγόριθμος που προκύπτει είναι πλήρως αυτοματοποιημένος, μιας και δεν απαιτεί
τη ρύθμιση κάποιας παραμέτρου κανονικοποίησης. Ο δεύτερος αλγόριθμος προκύπτει
από την ελαχιστοποίηση μιας κατάλληλα διαμορφωμένης συνάρτησης κόστους. Και στην
περίπτωση αυτή, χρησιμοποιείται η προαναφερθείσα ιδέα επιβολής χαμηλού βαθμού (κατάλληλα τροποποιημένη έτσι ώστε να μπορεί να εφαρμοστεί στο ακολουθιακό πλαίσιο
μάθησης). Ενδιαφέρον παρουσιάζει το γεγονός πως ο τελευταίος αλγόριθμος μπορεί να
θεωρηθεί ως μια ντετερμινιστική εκδοχή του προαναφερθέντος πιθανοτικού αλγορίθμου.
Τέλος, σημαντικό χαρακτηριστικό και των δύο αλγορίθμων είναι ότι δεν είναι απαραίτητη η εκ των προτέρων γνώση του βαθμού του πίνακα υποχώρου. Τα πλεονεκτήματα
των προτεινόμενων προσεγγίσεων παρουσιάζονται σε ένα μεγάλο εύρος πειραμάτων που
πραγματοποιήθηκαν σε συνθετικά δεδομένα, στο πρόβλημα της ακολουθιακής πλήρωσης ΥΦΕ και στην εκμάθηση ιδιο-προσώπων κάνοντας χρήση πραγματικών δεδομένων.
Κύρια θεματική κατηγορία:
Τεχνολογία – Πληροφορική
Λέξεις-κλειδιά:
εκτίμηση δομημένου πίνακα, μη-κυρτή βελτιστοποίηση, δεδομένα μεγάλης κλίμακας, ακολουθιακή επεξεργασία
Ευρετήριο:
Ναι
Αρ. σελίδων ευρετηρίου:
8
Εικονογραφημένη:
Ναι
Αρ. βιβλιογραφικών αναφορών:
170
Αριθμός σελίδων:
191