Στοιχεία επιβλεπόντων καθηγητών:
Αριστείδης Κοντογεώργης, Καθηγητής, Τμήμα Μαθηματικών, Σχολή Θετικών Επιστημών του Εθνικού και Καποδιστριακού Πανεπιστημίου Αθηνών
Περίληψη:
Η θεωρία των παραγόμενων συναρτητών (derived functors) σε αβελιανές κατηγορίες αποτελεί μια θεμελιώδη έννοια τη ομολογικής άλγεβρας η οποία διατρέχει όλα τα σύγχρονα μαθηματικά, ειδικότερα την αλγεβρική γεωμετρία, ακόμα και την θεωρητική φυσική. Ως επόμενο βήμα, η θεωρία των παραγόμενων (derived) κατηγοριών είναι ένα ισχυρό εργαλείο που απλοποιεί σημαντικά την ομολογική άλγεβρα. Η μελέτη, λοιπόν, μετατοπίζεται από τα αντικείμενα μιας κατηγορίας στην μελέτη των chain complexes, που αποτελούνται από αντικείμενα της καητηγορίας, εφοδιασμένα με μία ισχυρότερη έννοια ισοδυναμίας (αυτή των quasi-ismoprhisms). Η θεωρία αυτή, έχει τις ρίζες της στην δουλειά [Tohoku] των Alexander Grothendieck και, του μαθητή του, Jean-Louis Verdier, η οποία μας δίνει την δυνατότητα να εκφράσουμε έννοιες με απλό και περισσότερο κατανοητό τρόπο αποφεύγοντας την χρήση περίπλοκων φασματικών ακολουθιών.
Η ιδέα πίσω από τις derived categories είναι η εξής: «Τα complexes είναι καλά, ενώ η ομολογία των complexes είναι κακή». ́Οπως αναφέρθηκε και παραπάνω, θα θέλαμε τα chain complexes ως ειδοποιό - αμετάβλητο στοιχείο των χώρων, επειδή έχουν όλη την πληροφορία που μας είναι χρήσιμη για την ομοτοπία ενός χώρου, - η ομολογία περιέχει λιγότερη πληροφορία - οπότε έτσι προήλθε η παραπάνω ιδέα. Αφού, λοιπόν, τα στοιχεία της derived category είναι τα chain complexes, χρειαζόμαστε έναν τρόπο να ταυτίζουμε αυτά τα οποία είναι ισομορφικά, οδηγούμαστε έτσι, στην ένοια των quasi-isomorphisms οι οποίοι παίζουν έναν σημαντικό ρόλο στην κατασκευή της νέας αυτής κατηγορίας, δίνοντάς μας την ισχυρότερη έννοια ισοδυναμίας που αναφέραμε. Ειδικότερα, ομοτοπικά complexes είναι quasi-ισομορφικά.
Ο κύριος σκοπός αυτής της διπλωματικής εργασίας είναι η απόδειξη του θεωρήματος της φασματκής ακολουθίας του Grothendieck 5.2.2 η οποία υπολογίζει τους derived functors της σύνθεσης δύο συναρτητών, γνωρίζοντας μόνο τους derived functors καθένα συναρτητή. Η φασματική ακολουθία του Leray 5.5.8 και η φασματική ακολουθία των Lyndon-Hochschild-Serre είναι δύο εκ των πολλών άλλων ειδικών περιπτώσεων της φασματικής ακολουθίας του Grothendieck.
Στο τελευταίο κεφάλαιο της εργασίας θα δούμε δύο αποδείξεις αυτού του αποτελέσματος, η πρώτη χρησιμοποιώντας μόνον γνώσεις από την θεωρία φασ ματικών ακολουθιών και η δεύτερη, πιο άμεση και απλοποιημένη, στη γλώσσα των derived categories. Δεν θα ήταν λάθος να συμπεράνουμε πως οι derived categories μας παρέχουν έναν πιο απλό τρόπο να κάνουμε υπολογισμούς οι οποίοι θα ήταν πολυπλοκότεροι αν γινόντουσαν μέσω φασματικών ακολουθιών.
Πιο συγκεκριμένα, στο πρώτο κεφάλαιο θυμόμαστε κάποιους βασικούς ορισμούς και κατασκευές όπως είναι η (συν)ομολογία, η σχέση ομοτοπίας, τα ακριβή τρίγωνα και οι τριγωνίσιμες κατηγορίες, θέτοντας έτσι τα θεμέλια για τα ακόλουθα κεφάλαια. Στο δεύτερο κεφάλαιο κατασκευάζουμε τους αριστερούς derived functors (και δυϊκά τους δεξιούς), δείχνουμε πως είναι καλά ορισμένοι και οπλιζόμαστε με τις κατάλληλες προτάσεις και πορίσματα. Εν συνεχεία, στο τρίτο κεφάλαιο, παίρνουμε μια ιδέα από τον κόσμο των φασματικών ακολουθιών, καταλαβαίνοντας πώς ορίζονται και συγκλίνουν ενώ παράλληλα βλέπουμε - ως παραδείγματα - πώς κάποια ήδη γνωστά αποτελέσματα (όπως το Snake Lemma) αποδεικνύονται εύκολα με χρήση αυτού του νέου εργαλείου. Στο τέταρτο κεφάλαιο, τοπικοποιούμε την κατηγορία ομοτοπίας μιας αβελιανής κατηγορίας ως προς τους quasi-isomorphisms παίρνοντας έτσι την derived category, όπου εξηγούμε και πώς αυτή λειτουργεί, δηλαδή, ποιά είναι τα αντικείμενα, οι μορφισμοί και η σύνθεση μορφισμών της. Τελικά, στο πέμπτο κεφάλαιο, αποδεικνύουμε το θεώρημα του Grothendieck, όπως περιγράφηκε παραπάνω, και εν συνεχεία κάνουμε μια σύντομη αναφορά στην φασματική ακολουθία του Leray τονίζοντας την άμεση επαγωγή της από αυτήν του πρώτου.
Λέξεις-κλειδιά:
Παραγόμενες Κατηγορίες, Παραγόμενοι Συναρτητές, Αλεξάντερ Γκρόθεντικ, Γκρόθεντικ, Βέρντιερ, Σύνθεση Παραγόμενων Συναρτητών, Τριγωνίσιμες Κατηγορίες, Φασματικές Ακολουθίες, Θεωρία Κατηγοριών
