Στοιχεία επιβλεπόντων καθηγητών:
Ολυμπία Ταλέλλη Καθηγήτρια (Επιβλέπουσα),Μιχάλης Μαλλιάκας Καθηγητής ,Ιωάννης Εμμανουήλ Καθηγητής
Περίληψη:
Έστω Ν μία κανονική υποομάδα μίας ομάδας G. Μία υποομάδα Χ της G τέτοια ώστε
G=NX και ΝΧ=1 λέγεται συμπλήρωμα της Ν στην G και σε αυτήν την περίπτωση η G
λέγεται διασπώμενη επέκταση επί της Ν. Ένα θεώρημα διάσπασης λέει ότι μία ομάδα
G διασπάται επί μίας κανονικής υποομάδας Ν. Αυτό έχει σαν συνέπεια ότι η G
αναλύεται σαν γινόμενο δύο υποομάδων της, G=NX και επιπλέον κάθε στοιχείο της G
γράφεται κατά μοναδικό τρόπο ως g=nx, όπου nN και xX. Ένα από τα θεμελιώδη
θεωρήματα διάσπασης στην θεωρία πεπερασμένων ομάδων είναι το θεώρημα Schur το
οποίο λέει ότι αν Α είναι μία αβελιανή υποομάδα μίας ομάδας G και Μ.Κ.Δ(Α,G/Α)
=1, τότε η G περιέχει υποομάδα Χ τάξης G/A και κάθε δύο τέτοιες είναι συζυγείς
στην G. Δηλαδή η G είναι διασπώμενη επέκταση επί της Α, και κάθε δύο
συμπληρώματα της Α στην G είναι συζυγή. Η απόδειξη αυτού του θεωρήματος και για
την ύπαρξη συμπληρωμάτων και για τη συζυγία κάθε δύο συμπληρωμάτων βασίζεται σε
έννοιες οι οποίες καθιερώθηκαν αργότερα ως βασικές στην Συνομολογική Θεωρία
Ομάδων. Σε αυτήν την εργασία τονίζουμε αυτήν την σχέση και δίνουμε δύο
αποδείξεις του Θεωρήματος Schur-Zassenhaus το οποίο γενικέυει το Θεώρημα Schur,
εδώ η κανονική υποομάδα δεν είναι κατ’ανάγκη αβελιάνη. Θεώρημα
Schur-Zassenhaus: Έστω G πεπερασμένη ομάδα και Ν μία κανονική υποομάδα της.
Υποθέτουμε ότι Μ.Κ.Δ( N,G/N)=1. Τότε η G περιέχει υποομάδα τάξης G/N και κάθε
δύο τέτοιες είναι συζυγείς στην G. Αξίζει ν’αναφερθεί ότι για την απόδειξη της
ύπαρξης των συμπληρωμάτων στο Θεώρημα Schur Zassenhaus χρησιμοποιήθηκε το
Θεώρημα Feit – Thompson που λέει ότι μία ομάδα περιττής τάξης είναι επιλύσιμη.
Η πρώτη απόδειξη είναι στα πλαίσια της Θεωρίας Ομάδων και η δεύτερη μέσω
εργαλείων της Συνομολογικής Θεωρίας Ομάδων, ιδιαίτερα μέσω της ερμηνείας της
Η(G,N) ως ένα σύνολο επεκτάσεων ομάδων.Στο κεφάλαιο 1 δίνουμε μία
ομαδοθεωρητική απόδειξη του Θεωρήματος Schur-ZassenhausΣτο κεφάλαιο 2 μελετάμε
την ομάδα Η(G,A) και την ερμηνεία της ως ένα σύνολο επεκτάσεων E(G,A) της Α επί
της G. Επίσης αν φ:H>G ομομορφισμός ομάδων και ξ:M>N ομομορφισμός ΖG προτύπων
τότε μελετάμε τις απεικονίσεις φ:E(G,A)>E(G,A*) και ξ:E(G,M)>E(G,N).Τέλος στο
κεφάλαιο 3, αποδεικνύουμε βασικά αποτελέσματα της Συνομολογικής Θεωρίας Ομάδων
μέσω των οποίων δίνουμε μία δεύτερη απόδειξη του Θεωρήματος Schur.
